Trung điểm nhìn bằng vectơ
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi M nằm chính giữa A và B. Diễn đạt bằng vectơ, điều này có nghĩa là hai vectơ MA và MB đối nhau: MA + MB = 0. Từ đó, với một điểm gốc O tùy ý, ta rút ra hệ thức rất tiện dùng: OM = (OA + OB)/2. Về tọa độ, M chính là trung bình cộng tọa độ hai đầu mút.
Các bước suy ra hệ thức
- Đặt điều kiện trung điểm: M ở giữa AB nên MA + MB = 0.
- Chèn điểm O: viết MA = OA − OM và MB = OB − OM.
- Cộng lại: (OA − OM) + (OB − OM) = 0, tức OA + OB = 2·OM.
- Kết luận: OM = (OA + OB)/2 → tọa độ M = trung bình cộng tọa độ A, B.
Trọng tâm tam giác
Trọng tâm G của tam giác ABC là giao điểm ba đường trung tuyến, cũng là "điểm cân bằng" của tam giác. Bằng vectơ, G được đặc trưng bởi GA + GB + GC = 0. Lập luận y hệt trung điểm (chèn điểm O và cộng), ta được OG = (OA + OB + OC)/3. Nghĩa là tọa độ trọng tâm bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh — kéo thử một đỉnh, G di chuyển đúng bằng một phần ba quãng đó.
Vì sao lại là /2 và /3?
Mẫu số cho biết ta đang lấy trung bình của bao nhiêu điểm. Trung điểm là trung bình của 2 điểm nên chia 2; trọng tâm là trung bình của 3 đỉnh nên chia 3. Đây chính là ý tưởng "khối tâm" trong vật lí: điểm cân bằng của các khối lượng bằng nhau đặt tại các đỉnh. Hệ thức OG=(OA+OB+OC)/3 còn giải thích vì sao trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 tính từ đỉnh, và không phụ thuộc điểm O ta chọn.
Ứng dụng thực tế
Hệ thức trung điểm và trọng tâm được dùng khi:
- 📐 Tìm nhanh tọa độ trung điểm, trọng tâm trong hình học tọa độ.
- ⚖️ Xác định khối tâm (trọng tâm vật lí) của hệ chất điểm.
- 🏗️ Cân bằng kết cấu, tìm điểm treo để vật không nghiêng.
- 🎮 Tính tâm của một nhóm điểm trong đồ họa, mô phỏng.