Xấp xỉ căn bậc hai bằng cách kẹp
Khi n không phải số chính phương, căn bậc hai √n là một số vô tỉ — ta không viết được nó thành phân số, phần thập phân vô hạn không tuần hoàn. Cách hiểu và ước lượng √n dễ nhất là kẹp nó giữa hai số nguyên liên tiếp mà nó nằm giữa trên trục số.
Cách kẹp từng bước
- Tìm số chính phương lớn nhất nhỏ hơn n và số chính phương nhỏ nhất lớn hơn n.
- Ví dụ với √7: vì 4 = 2² và 9 = 3² nên 4 < 7 < 9.
- Lấy căn hai đầu: 2 < √7 < 3. Vậy √7 nằm giữa 2 và 3.
- Muốn chính xác hơn, thử bình phương số thập phân: 2,6² = 6,76 và 2,7² = 7,29 nên 2,6 < √7 < 2,7.
Vì sao cách này đúng?
Hàm bình phương đồng biến với số dương: nếu 0 < a < b thì a² < b². Do đó nếu k² < n < (k+1)² thì lấy căn bậc hai vẫn giữ nguyên thứ tự, cho k < √n < k+1. Đó chính là hai số nguyên liên tiếp kẹp √n.
Trên trục số, điểm √n luôn nằm đúng một khoảng đơn vị nào đó giữa hai số nguyên. Càng chia nhỏ khoảng ra thành phần mười, phần trăm… ta càng biết √n chính xác hơn, nhưng nó không bao giờ rơi trúng một số hữu tỉ.
Ứng dụng thực tế
Ước lượng căn bậc hai giúp ích ở nhiều nơi:
- 📏 Ước lượng độ dài đường chéo hình vuông cạnh a là a√2.
- 🧮 Kiểm tra nhanh kết quả trước khi bấm máy tính.
- 📐 Định vị số vô tỉ trên trục số khi vẽ đồ thị.
- 🏗️ Ước lượng khoảng cách theo định lí Pythagoras trong thực tế.