Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?
Một biến ngẫu nhiên rời rạc X là đại lượng nhận một trong hữu hạn (hoặc đếm được) các giá trị số x₁, x₂, …, xₙ, mỗi giá trị ứng với một xác suất pᵢ. Bảng liệt kê các xᵢ cùng pᵢ gọi là bảng phân bố xác suất. Điều kiện bắt buộc là mọi pᵢ ≥ 0 và p₁ + p₂ + … + pₙ = 1.
Kỳ vọng E(X)
Kỳ vọng (giá trị trung bình) của X là tổng có trọng số của các giá trị theo xác suất:
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ = Σxᵢpᵢ
Về mặt hình học, nếu đặt tại mỗi giá trị xᵢ một khối lượng bằng pᵢ, thì E(X) chính là điểm cân bằng (trọng tâm) của hệ — nơi cây thước sẽ thăng bằng.
Các bước tính
- Liệt kê các giá trị xᵢ và xác suất pᵢ.
- Kiểm tra Σpᵢ = 1 (nếu chưa, chuẩn hoá lại).
- Nhân từng cặp xᵢ · pᵢ.
- Cộng tất cả để được E(X).
Vì sao E(X) là trung bình dài hạn?
Theo luật số lớn, khi lặp lại phép thử rất nhiều lần, tần suất xuất hiện của mỗi giá trị xᵢ tiến về pᵢ, nên trung bình cộng các kết quả quan sát tiến dần về Σxᵢpᵢ = E(X). Bấm nút mô phỏng trong game để thấy trung bình quan sát (vạch vàng) áp sát E(X) (vạch xanh).
Ứng dụng thực tế
Kỳ vọng được dùng khi:
- 🎰 Đánh giá trò chơi, cá cược có "lợi" hay không (kỳ vọng thắng).
- 🛡️ Định phí bảo hiểm dựa trên tổn thất kỳ vọng.
- 📦 Dự báo số lượng hàng bán, số khách hàng trung bình.
- 💹 Ước lượng lợi nhuận trung bình của một khoản đầu tư.