Tích vô hướng là gì?
Với hai vectơ a = (aₓ; a_y; a_z) và b = (bₓ; b_y; b_z) trong không gian Oxyz, tích vô hướng là một số thực (không phải vectơ): a·b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z. Nó gói gọn đồng thời độ dài hai vectơ và góc giữa chúng.
Hai công thức, một kết quả
Tích vô hướng có hai cách tính luôn bằng nhau: theo tọa độ và theo góc.
- Theo tọa độ: a·b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z — chỉ cần nhân từng thành phần rồi cộng.
- Theo góc: a·b = |a|·|b|·cosθ, với |a|=√(aₓ²+a_y²+a_z²) là độ dài vectơ.
- Suy ra góc: cosθ = (a·b)/(|a|·|b|), từ đó tính được θ giữa hai vectơ.
- Vuông góc: a·b = 0 ⇔ cosθ = 0 ⇔ θ = 90° (khi a, b khác vectơ-không).
Vì sao a·b = 0 nghĩa là vuông góc?
Vì a·b = |a||b|cosθ và hai độ dài |a|, |b| đều dương (khác 0), nên dấu và giá trị của tích vô hướng do cosθ quyết định. Khi cosθ = 0 thì θ = 90°, tức hai vectơ vuông góc. Nếu a·b > 0 thì góc nhọn, a·b < 0 thì góc tù.
Ứng dụng thực tế
Tích vô hướng trong không gian dùng để:
- 📐 Tính góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
- ⚙️ Tính công cơ học W = F·d trong vật lí (lực và độ dời).
- 🎮 Kiểm tra vuông góc, chiếu bóng, ánh sáng trong đồ họa 3D.
- 🛰️ Xác định phương vuông góc, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.