Lãi kép là một cấp số nhân
Gửi vốn ban đầu A với lãi suất r mỗi kỳ. Sau kỳ thứ nhất, số tiền là A·(1+r). Vì kỳ sau lãi được tính trên cả gốc lẫn lãi cũ, số tiền lại được nhân thêm (1+r). Do đó dãy số tiền A₀, A₁, A₂, … thỏa mãn Aₙ = Aₙ₋₁·(1+r): mỗi số hạng bằng số hạng liền trước nhân với một hằng số. Đó chính là định nghĩa của cấp số nhân với công bội q = 1+r.
Công thức số hạng tổng quát
Từ Aₙ = Aₙ₋₁·q, khai triển ngược về A₀ = A ta được số hạng tổng quát của cấp số nhân: Aₙ = A·qⁿ = A·(1+r)ⁿ. Đây chính là công thức lãi kép quen thuộc. Ví dụ A = 10 triệu, r = 8%/năm thì sau 12 năm: A₁₂ = 10·(1,08)¹² ≈ 25,18 triệu — gấp hơn 2,5 lần vốn.
Lãi kép (mũ) vượt xa lãi đơn (tuyến tính)
- Lãi đơn: mỗi kỳ chỉ cộng thêm A·r, nên Aₙ = A·(1 + n·r) — một dãy số cộng, đồ thị là đường thẳng.
- Lãi kép: mỗi kỳ nhân với (1+r), nên Aₙ = A·(1+r)ⁿ — một dãy số nhân, đồ thị là đường cong hàm mũ.
- Với n nhỏ hai đường gần nhau, nhưng khi n lớn lãi kép bứt lên rất nhanh: đó là sức mạnh của cộng dồn.
Ứng dụng thực tế
Cấp số nhân và lãi kép xuất hiện khi:
- 🏦 Tính tiền gửi tiết kiệm, khoản vay trả góp, lạm phát.
- 📈 Tăng trưởng dân số, đầu tư, lãi suất kép hằng tháng/quý.
- 🦠 Mô hình lây lan, phân rã phóng xạ (công bội < 1).
- 💊 Nồng độ thuốc giảm dần trong máu theo cấp số nhân.