Công thức biến đổi tích thành tổng là gì?
Trong lượng giác lớp 11 (bộ sách Kết nối tri thức), ba công thức biến đổi tích thành tổng cho phép viết tích của hai giá trị lượng giác dưới dạng nửa tổng của hai cosin (hoặc hai sin). Cụ thể: cos a·cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]; sin a·sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]; sin a·cos b = ½[sin(a + b) + sin(a − b)]. Đây là các hằng đẳng thức: đúng với mọi góc a, b.
Suy ra từ đâu?
- Viết công thức cộng góc: cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b và cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b.
- Cộng hai đẳng thức: cos(a − b) + cos(a + b) = 2·cos a·cos b, suy ra cos a·cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)].
- Trừ hai đẳng thức: cos(a − b) − cos(a + b) = 2·sin a·sin b, suy ra sin a·sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)].
- Với sin·cos, cộng sin(a + b) và sin(a − b): kết quả bằng 2·sin a·cos b, nên sin a·cos b = ½[sin(a + b) + sin(a − b)].
Chiều ngược: biến tổng thành tích
Đặt u = a + b và v = a − b (khi đó a = (u + v)/2, b = (u − v)/2), ta lật ba công thức trên thành công thức biến tổng thành tích: cos u + cos v = 2·cos[(u + v)/2]·cos[(u − v)/2]; cos u − cos v = −2·sin[(u + v)/2]·sin[(u − v)/2]; sin u + sin v = 2·sin[(u + v)/2]·cos[(u − v)/2]. Hai chiều chỉ là một công thức nhìn từ hai phía.
Vì sao kiểm chứng số lại thuyết phục?
Một hằng đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến. Trong game, bạn kéo a và b tới bất kì vị trí nào; máy tính hai vế một cách độc lập rồi so sánh. Nếu vế trái (tích) và vế phải (nửa tổng) luôn trùng nhau tới nhiều chữ số thập phân, đó là bằng chứng thực nghiệm rất mạnh cho công thức. Tất nhiên, một phép thử chưa phải là chứng minh: chứng minh chặt chẽ nằm ở phần suy ra từ công thức cộng góc phía trên. Nhưng việc tự tay đổi góc và thấy hai con số bám nhau giúp bạn tin và nhớ công thức, thay vì học vẹt. Hãy thử các trường hợp đặc biệt: khi a = b, công thức cos a·cos b trở thành cos²a = ½[1 + cos 2a] (vì cos 0 = 1), đúng là công thức hạ bậc quen thuộc; khi b = 0, sin a·cos b = sin a·1 = ½[sin a + sin a] = sin a, cũng khớp. Những trường hợp riêng này là cách kiểm tra nhanh xem mình có nhớ đúng dấu hay không.
Ứng dụng thực tế
Biến đổi tích thành tổng xuất hiện khi:
- 🧮 Tính tích phân, nguyên hàm của tích các hàm lượng giác.
- 🔧 Giải phương trình lượng giác, rút gọn biểu thức về dạng tổng.
- 🔊 Hiện tượng phách (beat) khi hai âm gần tần số chồng lên nhau.
- 📡 Điều chế biên độ, trộn tín hiệu trong kĩ thuật truyền thông.