Công thức độ dài đường trung tuyến

Đường trung tuyến là gì?

Trong tam giác ABC, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A là đoạn thẳng nối A với trung điểm M của cạnh đối diện BC. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm G, chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 tính từ đỉnh.

Công thức

Kí hiệu a = BC, b = CA, c = AB. Độ dài trung tuyến từ A (gọi là m_a) tính theo ba cạnh:

m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Hoán vị vai trò các cạnh, ta có tương tự m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4 và m_c² = (2a² + 2b² − c²)/4.

Vì sao đúng?

1. Xét hai tam giác ABM và ACM chung đường trung tuyến AM, với MB = MC = a/2.
2. Áp dụng định lý côsin trong hai tam giác đó cho hai góc bù nhau tại M (côsin đối nhau).
3. Cộng hai đẳng thức để triệt tiêu số hạng chứa côsin của góc tại M.
4. Rút gọn và được m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4.

Ứng dụng thực tế

Công thức đường trung tuyến giúp:

• 📐 Tính nhanh độ dài trung tuyến khi biết ba cạnh tam giác.
• 🎯 Tìm trọng tâm, cân bằng vật thể tam giác trong kĩ thuật.
• 🧮 Giải các bài hình học phẳng, chứng minh đẳng thức độ dài.
• 🌐 Liên hệ với định lý côsin và hình bình hành (định lý trung tuyến).