Cung chứa góc là gì?
Cho đoạn thẳng AB cố định và một góc α. Ta đi tìm tất cả những điểm M sao cho khi đứng ở M nhìn hai đầu A, B thì góc AMB luôn bằng α. Tập hợp (quỹ tích) tất cả các điểm ấy không phải một đường thẳng hay một điểm, mà là hai cung tròn đối xứng nhau qua đường thẳng AB — gọi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Vì sao là cung tròn?
- Định lí góc nội tiếp: mọi góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau và bằng nửa góc ở tâm.
- AB là một dây của đường tròn; mọi điểm M trên cung lớn đều nhìn AB dưới cùng một góc nội tiếp α.
- Góc ở tâm chắn AB bằng 2α, nên cung này chứa đúng góc α — đó là cung chứa góc.
- Lấy đối xứng qua AB được cung thứ hai; hợp hai cung là toàn bộ quỹ tích (trừ hai điểm A, B).
Bán kính và hình dạng cung
Gọi c = AB. Vì AB là dây chắn góc nội tiếp α nên theo định lí sin trong đường tròn, bán kính R = c / (2·sin α). Khi α nhỏ, sin α nhỏ nên R rất lớn: cung dẹt, gần như thẳng. Khi α = 90°, R = c/2 và AB trở thành đường kính (mọi điểm nhìn AB dưới góc vuông — đó là đường tròn đường kính AB). Khi α > 90°, cung phồng cao lên và tâm nằm khác phía so với M.
Ứng dụng thực tế
Cung chứa góc rất hữu ích khi:
- ⚽ Tìm chỗ đứng có cùng góc sút vào khung thành A–B trong bóng đá.
- 📷 Chọn vị trí chụp một tòa nhà sao cho nó lọt trong góc ngắm cố định.
- 🗺️ Định vị bằng góc: đo góc nhìn giữa hai mốc để khoanh vùng vị trí.
- 📐 Dựng hình và chứng minh quỹ tích trong các bài toán hình học phẳng.