Góc nội tiếp cùng chắn một cung là gì?
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung. Khi hai (hay nhiều) góc nội tiếp cùng "nhìn" một dây AB — tức cùng chắn cung AB — thì chúng được gọi là các góc nội tiếp cùng chắn một cung. Trò chơi phía trên có một đỉnh cố định Q và một đỉnh P kéo được: dù P ở đâu, hai góc luôn khớp số đo.
Định lý: chúng bằng nhau và bằng nửa góc ở tâm
Định lý hệ quả của định lý góc nội tiếp: trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, và mỗi góc bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó. Khi bạn kéo P, số đo ∠APB không đổi, luôn khớp với ∠AQB và luôn bằng ½∠AOB.
- Dây AB cố định xác định một cung.
- Góc ở tâm ∠AOB chắn cung AB — nó không đổi khi ta kéo đỉnh.
- Mọi góc nội tiếp chắn cung AB đều bằng ½∠AOB, nên chúng bằng nhau.
- Đổi cung bằng thanh trượt: quan hệ này vẫn giữ nguyên.
Vì sao chúng bằng nhau?
Chìa khoá nằm ở định lý góc nội tiếp: mỗi góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung. Góc ở tâm ∠AOB chỉ phụ thuộc vào cung AB, không phụ thuộc vào vị trí đỉnh của góc nội tiếp. Vì thế mọi góc nội tiếp chắn cung AB đều bằng cùng một giá trị ½∠AOB — nên chúng bằng nhau. Đây chính là điều bạn thấy khi kéo P: đỉnh di chuyển nhưng số đo đứng yên.
Hệ quả hay dùng
Từ tính chất này rút ra nhiều hệ quả quan trọng. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) là góc vuông, vì góc ở tâm khi đó bằng 180°, nửa của nó là 90°. Ngoài ra, hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc bằng nhau (và cùng phía) thì bốn điểm A, B và hai đỉnh đó cùng nằm trên một đường tròn — đây là dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Câu hỏi thường gặp
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung có bằng nhau không? Có — chúng luôn bằng nhau, vì cùng bằng nửa góc ở tâm chắn cung đó.
Góc nội tiếp bằng bao nhiêu góc ở tâm? Bằng một nửa, khi cả hai cùng chắn một cung. Góc ở tâm 100° thì góc nội tiếp là 50°.
Ứng dụng thực tế
Tính chất này được dùng rất nhiều:
- 📐 Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn (tứ giác nội tiếp).
- 📏 Dựng góc vuông nhờ góc nội tiếp chắn đường kính.
- 🧭 Bài toán "góc nhìn không đổi": ngắm đoạn AB dưới một góc cố định thì đỉnh chạy trên một cung tròn.
- ⚽ "Góc sút" vào khung thành: mọi điểm trên một cung nhìn hai cột gôn dưới cùng một góc.