Đa giác đều là gì?
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều… Trong chương trình Toán lớp 7 — bộ sách Kết nối tri thức, học sinh bắt đầu làm quen với tổng ba góc của một tam giác (180°); từ viên gạch nhỏ đó, ta có thể tự suy ra tổng góc trong của mọi đa giác mà không cần học thuộc thêm bất kỳ công thức rời rạc nào.
Ý tưởng trò chơi
Bí quyết nằm ở một thao tác duy nhất: đứng ở một đỉnh và kẻ các đường chéo tới những đỉnh không kề. Trò chơi phía trên cho bạn làm chính xác điều đó bằng thanh trượt:
- Kéo thanh Số cạnh n để chọn đa giác: từ tam giác đều (n = 3) đến đa giác đều 12 cạnh. Tên đa giác hiện ngay trên hình.
- Kéo thanh Chia tam giác (hoặc bấm nút ▶): từ một đỉnh, các đường chéo lần lượt xuất hiện, tách đa giác thành từng tam giác một, mỗi tam giác một màu.
- Đếm số tam giác hiện to giữa hình: luôn luôn được đúng n − 2 tam giác — thử với mọi n để tự kiểm chứng!
- Nhìn công thức sống bên dưới: tổng góc trong = (n−2)·180° và mỗi góc trong = (n−2)·180°/n tự cập nhật theo n.
- Tăng n dần lên 12 và quan sát các cung góc ở đỉnh: mỗi góc trong lớn dần, tiến sát 180°, còn đa giác thì tròn dần như một đường tròn.
Vì sao tổng góc trong là (n−2)·180°? Mẹo ghi nhớ
Khi kẻ đường chéo từ một đỉnh, ta không thêm và không bớt góc nào của đa giác — chỉ cắt các góc ra thành từng phần chia cho các tam giác. Vì vậy tổng góc trong của đa giác đúng bằng tổng tất cả các góc của các tam giác tạo thành.
Từ một đỉnh của đa giác n cạnh, ta kẻ được n − 3 đường chéo, chia đa giác thành n − 2 tam giác. Mỗi tam giác góp 180°, nên:
Tổng góc trong = (n − 2) × 180°
Với đa giác đều, n góc bằng nhau nên mỗi góc trong = (n−2)·180°/n. Mẹo ghi nhớ: luôn lấy (n − 2) tam giác nhân 180° — ngũ giác là 3 tam giác (540°), lục giác là 4 tam giác (720°), bát giác là 6 tam giác (1080°). Bạn không cần nhớ kết quả, chỉ cần nhớ cách chia!
Câu hỏi thường gặp
Tổng các góc trong của đa giác n cạnh bằng bao nhiêu? Bằng (n−2)·180°, vì từ một đỉnh ta luôn chia được đa giác thành đúng n−2 tam giác, mỗi tam giác có tổng ba góc là 180°.
Mỗi góc trong của đa giác đều tính thế nào? Vì đa giác đều có n góc bằng nhau, mỗi góc trong bằng (n−2)·180°/n. Ví dụ lục giác đều (n = 6): 4·180°/6 = 120°; hình vuông: 2·180°/4 = 90°.
Vì sao khi n rất lớn đa giác trông giống hình tròn? Khi n tăng, mỗi góc trong (n−2)·180°/n = 180° − 360°/n tiến dần tới 180°, tức là tại mỗi đỉnh đa giác gần như "đi thẳng" — đường gấp khúc mượt dần thành đường tròn.
Ứng dụng thực tế
Góc trong của đa giác đều xuất hiện ở rất nhiều nơi quanh ta:
- 🐝 Tổ ong là các lục giác đều vì góc 120° cho phép 3 ô ghép khít quanh một điểm (3 × 120° = 360°) — lát kín không hở, tiết kiệm sáp nhất.
- 🏠 Gạch lát nền hình vuông (90°) hay tam giác đều (60°) ghép kín mặt phẳng; ngũ giác đều (108°) thì không thể — vì 360° không chia hết cho 108°.
- ⚽ Quả bóng đá cổ điển ghép từ ngũ giác đều và lục giác đều; hiểu góc trong giúp giải thích vì sao cần cả hai loại mảnh để khép thành khối cầu.
- 🔩 Đầu bu-lông lục giác quay được bằng cờ lê ở 6 hướng cách nhau 60° — hệ quả trực tiếp của tính đối xứng và góc 120° của lục giác đều.