Đạo hàm cấp hai là gì?
Đạo hàm cấp hai f″(x) đơn giản là đạo hàm của đạo hàm cấp một f′(x): ta lấy đạo hàm hai lần liên tiếp. Nếu f′ đo tốc độ thay đổi của f, thì f″ đo tốc độ thay đổi của chính f′. Ví dụ với f(x) = x³ ta có f′(x) = 3x² rồi f″(x) = 6x; với f(x) = sin x thì f′(x) = cos x và f″(x) = −sin x.
Ý nghĩa cơ học: gia tốc
Nếu f(t) là quãng đường theo thời gian, thì f′(t) là vận tốc và f″(t) là gia tốc — tốc độ thay đổi của vận tốc. Xe đang tăng tốc có f″>0, đang phanh có f″<0. Đây là lý do đạo hàm cấp hai xuất hiện khắp vật lí, từ định luật II Newton F = m·a đến dao động điều hòa.
Ý nghĩa hình học: độ lồi lõm và điểm uốn
- f″(x) > 0: đồ thị lõm (cong lên như hình chén), tiếp tuyến nằm phía dưới đường cong.
- f″(x) < 0: đồ thị lồi (cong xuống như mái vòm), tiếp tuyến nằm phía trên đường cong.
- f″(x) = 0 và đổi dấu: đó là điểm uốn, nơi đồ thị chuyển từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
Ứng dụng thực tế
Đạo hàm cấp hai xuất hiện khi:
- 🚗 Tính gia tốc từ vị trí; định luật Newton, dao động.
- 📈 Khảo sát hàm số: tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn.
- ✅ Xét cực trị: f″(x₀)>0 → cực tiểu, f″(x₀)<0 → cực đại.
- 📊 Kinh tế: đo tốc độ tăng/giảm của tốc độ tăng trưởng.