Đạo hàm là gì?
Đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm cho biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó — hàm đang tăng hay giảm nhanh đến mức nào. Về mặt hình học, đạo hàm chính là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Kí hiệu là f '(x).
Ý tưởng: từ cát tuyến đến tiếp tuyến
Lấy hai điểm trên đồ thị: P = (x, f(x)) và Q = (x+Δx, f(x+Δx)). Đường thẳng qua hai điểm này gọi là cát tuyến. Bây giờ cho Q trượt lại gần P (cho Δx nhỏ dần):
- Độ dốc của cát tuyến = [ f(x+Δx) − f(x) ] / Δx (chính là Δy / Δx).
- Cho điểm Q trượt lại gần điểm P, tức là cho Δx nhỏ dần.
- Cát tuyến xoay dần và biến thành tiếp tuyến tại P.
- Độ dốc lúc đó chính là đạo hàm f '(x) tại điểm P.
Vì sao lại là giới hạn?
Khi Δx còn lớn, cát tuyến chỉ cho ta độ dốc trung bình giữa hai điểm. Để có độ dốc tại đúng một điểm, ta cho Δx tiến về 0 và lấy giới hạn của độ dốc cát tuyến:
f '(x) = limΔx→0 [ f(x+Δx) − f(x) ] / Δx
Với f(x) = x², ta có [ (x+Δx)² − x² ] / Δx = (2x·Δx + Δx²) / Δx = 2x + Δx. Cho Δx → 0 thì biểu thức tiến về 2x, nên f '(x) = 2x — đúng như độ dốc tiếp tuyến mà game hiển thị.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao đạo hàm của x² là 2x? Vì độ dốc cát tuyến qua x và x+Δx bằng 2x + Δx; khi cho Δx → 0 phần Δx mất đi, còn lại 2x. Đó chính là độ dốc tiếp tuyến tại x.
Đạo hàm âm nghĩa là gì? Đạo hàm âm nghĩa là hàm số đang giảm tại điểm đó — tiếp tuyến dốc xuống. Đạo hàm dương: hàm tăng; đạo hàm bằng 0: tiếp tuyến nằm ngang (thường là cực đại hoặc cực tiểu).
Ứng dụng thực tế
Đạo hàm — độ dốc tức thời — xuất hiện ở khắp nơi:
- 🚗 Vận tốc tức thời = đạo hàm của quãng đường theo thời gian.
- 📈 Tối ưu hoá: tìm cực trị (cực đại/cực tiểu) bằng cách giải f '(x) = 0.
- 🌱 Tốc độ tăng trưởng: đạo hàm cho biết một đại lượng đang tăng nhanh hay chậm.
- 💹 Kinh tế: độ dốc đồ thị (chi phí biên, doanh thu biên) chính là một đạo hàm.