Tích phân là gì? Diện tích dưới đường cong

Q: Tích phân là gì?

Tích phân xác định của hàm f(x) trên đoạn [a,b] chính là diện tích phần mặt phẳng nằm dưới đồ thị y=f(x) và trên trục hoành, từ x=a đến x=b. Ví dụ ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.667 là diện tích dưới parabol y=x² trên đoạn từ 0 đến 2.

Q: Vì sao càng nhiều hình chữ nhật thì diện tích càng chính xác?

Mỗi hình chữ nhật chỉ là một xấp xỉ thô của phần diện tích bên dưới đường cong, nên luôn thừa hoặc thiếu một chút. Khi tăng số hình chữ nhật N, mỗi hình mỏng đi và bám sát đường cong hơn, phần thừa-thiếu nhỏ dần. Khi N tiến tới vô cùng, tổng diện tích các hình chữ nhật (tổng Riemann) tiến tới đúng diện tích thật, đó chính là giá trị tích phân.

Tích phân là gì?

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] chính là diện tích phần mặt phẳng nằm dưới đồ thị y = f(x) và trên trục hoành, từ x = a đến x = b. Nói cách khác, tích phân là một tổng tích luỹ: nó cộng dồn vô số phần diện tích nhỏ xíu để cho ra toàn bộ diện tích bên dưới đường cong. Trong game trên, ∫₀² x² dx chính là diện tích dưới parabol y = x² từ 0 đến 2.

Ý tưởng: lấp đầy bằng hình chữ nhật

Diện tích dưới một đường cong cong queo thì khó tính trực tiếp. Mẹo là chia miền thành nhiều hình chữ nhật mỏng, mỗi hình lấy chiều cao bằng giá trị của hàm số, rồi cộng diện tích tất cả các hình lại. Đây gọi là tổng Riemann.

Chia đoạn [0, 2] thành N phần bằng nhau, mỗi phần rộng Δx = 2/N.
Trên mỗi phần, dựng một hình chữ nhật có chiều cao bằng f(x) tại điểm giữa.
Cộng diện tích tất cả các hình chữ nhật: tổng ≈ Σ f(x_i) · Δx.
Cho số hình chữ nhật N → vô cùng, tổng này tiến tới diện tích thật.

Vì sao càng nhiều hình càng chính xác?

Mỗi hình chữ nhật chỉ xấp xỉ thô phần diện tích bên dưới đường cong, nên luôn thừa hoặc thiếu một chút ở phần đỉnh cong. Khi N càng lớn, mỗi hình mỏng đi và bám sát đường cong hơn, phần thừa-thiếu nhỏ dần. Giới hạn của tổng Riemann khi N → ∞ chính là giá trị tích phân chính xác:

∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.667

Hãy kéo thanh trượt hoặc bấm “Tăng số hình chữ nhật” trong game: bạn sẽ thấy con số diện tích xấp xỉ tiến dần về 2.667 khi N tăng lên — đó là tích phân hiện ra ngay trước mắt.

Câu hỏi thường gặp

Tích phân liên hệ thế nào với đạo hàm? Theo định lý cơ bản của giải tích, tích phân và đạo hàm là hai phép toán ngược nhau: nếu F'(x) = f(x) thì ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Đạo hàm đo độ dốc, còn tích phân cộng dồn diện tích.

Tích phân có thể âm không? Có. Khi đồ thị nằm dưới trục hoành (f(x) < 0), phần diện tích đó được tính là âm, nên tích phân có thể âm hoặc bằng 0. Tích phân là “diện tích có dấu”.

Ứng dụng thực tế

Tích phân — diện tích dưới đường cong — xuất hiện ở khắp nơi:

🚗 Tính quãng đường đi được từ đồ thị vận tốc theo thời gian.
📐 Tính diện tích, thể tích của những hình bất kỳ có biên cong.
📈 Cộng dồn tổng giá trị tích luỹ trong kinh tế (như tổng lợi nhuận theo thời gian).
🎲 Tính xác suất bằng diện tích dưới đường mật độ xác suất.

Tích phân = diện tích dưới đường cong