Quy tắc dây chuyền là gì?
Hàm hợp là hàm lồng vào nhau: y = f(g(x)) — trước tiên tính hàm trong g(x), rồi đưa kết quả vào hàm ngoài f. Đạo hàm của hàm hợp tuân theo quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Đặt u = g(x) thì viết gọn là dy/dx = dy/du · du/dx.
Các bước áp dụng
- Nhận diện lớp: đâu là hàm ngoài f, đâu là hàm trong u = g(x).
- Đạo hàm ngoài: tính f′ rồi thay u = g(x) vào (giữ nguyên phần trong).
- Đạo hàm trong: tính g′(x).
- Nhân lại: y′ = f′(g(x)) · g′(x).
Ví dụ minh hoạ
Với y = sin(2x): ngoài là sin (đạo hàm cos), trong là 2x (đạo hàm 2), nên y′ = cos(2x)·2 = 2cos(2x). Với y = (x² + 1)³: ngoài là lũy thừa bậc ba (đạo hàm 3u²), trong là x² + 1 (đạo hàm 2x), nên y′ = 3(x² + 1)²·2x = 6x(x² + 1)². Ý tưởng như hai bánh răng nối tiếp: vận tốc đầu ra bằng tích hai tỉ số truyền.
Ứng dụng thực tế
Quy tắc dây chuyền xuất hiện khi:
- ⚙️ Truyền động qua nhiều bánh răng, tỉ số nhân dồn.
- 🌡️ Tốc độ thay đổi dây chuyền: nhiệt độ theo thời gian qua độ cao.
- 📈 Đạo hàm trong bài toán tối ưu và tốc độ liên quan.
- 🤖 Lan truyền ngược (backpropagation) khi huấn luyện mạng nơ-ron.