Nhị thức bậc nhất là gì?
Một nhị thức bậc nhất là biểu thức dạng f(x)=ax+b với a ≠ 0. Đồ thị của y=ax+b là một đường thẳng, cắt trục hoành tại đúng một điểm. Hoành độ giao điểm đó là nghiệm x=−b/a — nơi f(x)=0. Xét dấu nhị thức chính là trả lời câu hỏi: với những giá trị nào của x thì f(x) dương, và với những giá trị nào thì f(x) âm?
Các bước xét dấu
- Tìm nghiệm: giải ax+b=0 được x=−b/a.
- Đặt nghiệm lên trục số, chia trục thành hai khoảng.
- Bên phải nghiệm (x lớn): f(x) cùng dấu với a.
- Bên trái nghiệm (x nhỏ): f(x) trái dấu với a.
Vì sao phải cùng dấu a, trái trái dấu a?
Khi x rất lớn, số hạng ax lấn át b, nên dấu của ax+b theo dấu của a — đó là khoảng bên phải nghiệm. Đường thẳng chỉ cắt trục hoành một lần tại x=−b/a, nên khi vượt qua điểm này f(x) đổi dấu đúng một lần. Vì thế khoảng bên trái mang dấu ngược lại, tức trái dấu a. Nếu a > 0 đường đi lên (âm rồi dương); nếu a < 0 đường đi xuống (dương rồi âm). Kéo slider a qua giá trị âm, bạn sẽ thấy hai khoảng dấu đảo chỗ cho nhau.
Ứng dụng: xét dấu tích và thương
Muốn xét dấu một tích hay thương của nhiều nhị thức, ta lập bảng xét dấu: đặt tất cả các nghiệm lên cùng một trục số, xét dấu từng nhị thức trên mỗi khoảng, rồi nhân các dấu theo cột. Đây là công cụ cốt lõi để giải bất phương trình dạng tích, thương và để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Với thương, đừng quên loại các giá trị làm mẫu bằng 0.
Ứng dụng thực tế
Xét dấu nhị thức bậc nhất giúp:
- 📉 Giải bất phương trình bậc nhất và bất phương trình tích, thương.
- 💰 Tìm khoảng lãi/lỗ trong bài toán kinh tế tuyến tính.
- 📊 Xác định khi nào một đại lượng vượt ngưỡng cho phép.
- 🧮 Là bước nền để xét dấu tam thức bậc hai sau này.