Hàm số bậc hai là gì?
Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c với a ≠ 0. Đồ thị của nó là một parabol. Chỉ cần nắm ba yếu tố — bề lõm, đỉnh và trục đối xứng — là ta vẽ và đọc được toàn bộ tính chất của hàm.
Đỉnh và trục đối xứng
Đỉnh của parabol là điểm I(−b/2a; −Δ/4a), trong đó Δ = b² − 4ac. Đường thẳng đứng x = −b/2a đi qua đỉnh là trục đối xứng: hai nhánh parabol soi gương qua nó.
- Bề lõm: a > 0 thì lõm lên (parabol hình chữ U), a < 0 thì lõm xuống (hình chữ U ngược).
- Hoành độ đỉnh x_I = −b/2a; thay vào hàm để có tung độ đỉnh y_I = −Δ/4a.
- Trục đối xứng là x = −b/2a; lấy vài điểm rồi lấy đối xứng để vẽ nhanh.
- Giao trục: cho x = 0 được (0; c); giải ax²+bx+c = 0 để tìm giao với Ox (nếu có).
Bảng biến thiên và cực trị
Nếu a > 0: hàm nghịch biến trên (−∞; −b/2a), đồng biến trên (−b/2a; +∞), đạt giá trị nhỏ nhất y = −Δ/4a tại x = −b/2a. Nếu a < 0: ngược lại, hàm đạt giá trị lớn nhất y = −Δ/4a tại x = −b/2a. Đỉnh chính là điểm cực trị đó.
Ứng dụng thực tế
Hàm bậc hai mô tả rất nhiều hiện tượng:
- 🚀 Quỹ đạo vật ném xiên, tia nước phun — đều là parabol.
- 💰 Tối ưu lợi nhuận, doanh thu theo giá bán để tìm mức tốt nhất.
- 📡 Chảo ăng-ten, đèn pha dùng mặt parabol để hội tụ tia.
- 🌉 Đường cong dây văng, cầu vòm được mô hình bằng parabol.