Dãy số truy hồi là gì?
Một dãy số cho bởi công thức truy hồi được xác định bằng cách cho trước một hoặc vài số hạng đầu, kèm một quy tắc tính số hạng sau từ số hạng trước, thường viết uₙ₊₁ = f(uₙ). Thay vì có ngay công thức số hạng tổng quát, ta phải "leo thang" từng bước: biết uₙ thì tính được uₙ₊₁, cứ thế mãi.
Ba ví dụ trong game
- uₙ₊₁ = ½uₙ + 1 — dãy tiến dần (hội tụ) về giới hạn L = 2, dù u₁ là bao nhiêu.
- Fibonacci: uₙ₊₁ = uₙ + uₙ₋₁ — mỗi số bằng tổng hai số trước, dãy tăng vô hạn.
- uₙ₊₁ = √(uₙ + 1) — hội tụ về tỉ số vàng φ ≈ 1,618 (nghiệm của L = √(L+1)).
Tăng, giảm, dao động, hội tụ
Bấm "Vẽ từng số hạng" để thấy dãy hình thành. Có dãy tăng (số sau lớn hơn số trước), có dãy giảm, có dãy dao động quanh giới hạn (lúc trên lúc dưới), và có dãy hội tụ — các số hạng ép sát dần về một giá trị L cố định. Kéo u₁ để thấy điểm xuất phát khác nhau vẫn dẫn về cùng một giới hạn.
Tìm giới hạn thế nào?
Nếu dãy uₙ₊₁ = f(uₙ) hội tụ về L và f liên tục, thì cho n → ∞ ở cả hai vế ta được L = f(L). Đây gọi là điểm bất động. Giải phương trình này cho ta ứng viên của giới hạn. Ví dụ ½L + 1 = L ⇒ L = 2; còn √(L+1) = L ⇒ L² − L − 1 = 0 ⇒ L = φ. Lưu ý: phải kiểm tra dãy thực sự hội tụ (bị chặn và đơn điệu) trước khi kết luận.
Đơn điệu và bị chặn
Một tiêu chuẩn hội tụ rất hay dùng ở lớp 11: nếu dãy vừa đơn điệu (luôn tăng hoặc luôn giảm) vừa bị chặn (không vượt quá một giá trị nào đó), thì dãy chắc chắn hội tụ. Chẳng hạn dãy uₙ₊₁ = √(uₙ + 1) với u₁ dương là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2, nên nó hội tụ; giới hạn phải thoả L = √(L+1), cho L = φ. Kéo u₁ trong game rồi bấm vẽ từng số hạng: bạn sẽ thấy rõ dãy leo dần lên rồi ép sát đường giới hạn màu xanh mà không bao giờ vượt qua.
Ứng dụng thực tế
Dãy truy hồi có mặt khắp nơi:
- 💰 Lãi kép, dư nợ trả góp: số dư kỳ sau tính từ kỳ trước.
- 🐇 Mô hình tăng trưởng dân số (Fibonacci, logistic).
- 🖥️ Thuật toán lặp giải phương trình (phương pháp Newton, điểm bất động).
- 📉 Chuỗi thời gian, mô phỏng vật lý theo từng bước.