Định lý sin là gì?
Định lý sin nói rằng trong mọi tam giác ABC, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện luôn không đổi: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Đặc biệt, tỉ số chung ấy đúng bằng 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đây là một trong những hệ thức lượng quan trọng nhất trong tam giác.
Các bước dùng định lý sin
- Xác định cặp cạnh – góc đối diện đã biết (ví dụ cạnh a và góc A).
- Lập tỉ số a/sinA = 2R để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp.
- Dùng tỉ số đó để tìm cạnh hoặc góc còn thiếu: b = 2R·sinB, …
- Kiểm tra: tổng ba góc phải bằng 180°.
Vì sao tỉ số bằng 2R?
Vẽ đường kính từ đỉnh B đi qua tâm O, cắt đường tròn tại D. Tam giác BCD nội tiếp có BD là đường kính nên góc BCD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Trong tam giác vuông đó, a = BC = BD·sin(góc BDC) = 2R·sin(góc BDC). Mà góc BDC và góc A cùng chắn cung BC nên bằng nhau, suy ra a = 2R·sinA, tức a/sinA = 2R. Làm tương tự cho b và c.
Ứng dụng thực tế
Định lý sin rất hữu ích khi:
- 📐 Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc (hoặc hai cạnh, một góc).
- 🗺️ Đo khoảng cách gián tiếp trong trắc địa, bản đồ (tam giác đạc).
- 🚢 Định vị tàu thuyền, hàng hải bằng góc ngắm.
- 🔭 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.