Đường kính và dây cung
Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên đường tròn. Đường kính là dây đặc biệt đi qua tâm O. Trong bài này ta khám phá hai tính chất then chốt: đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó, và trong tất cả các dây thì đường kính là dây dài nhất, bằng 2R.
Các bước hiểu
- Kẻ dây AB bất kì, rồi hạ đoạn vuông góc từ tâm O xuống dây, chân là H.
- Tam giác OAB cân tại O vì OA = OB = R (đều là bán kính).
- Đường cao OH của tam giác cân cũng là đường trung tuyến, nên H là trung điểm của AB.
- Kéo dài OH thành đường kính: đường kính vuông góc với AB đi qua trung điểm H. Khi H trùng O thì AB chính là đường kính, dài nhất.
Vì sao đường kính là dây dài nhất?
Gọi d là khoảng cách từ tâm đến dây. Trong tam giác vuông OHA có OA = R (cạnh huyền), OH = d, nên nửa dây HA = √(R² − d²), suy ra độ dài dây = 2√(R² − d²). Biểu thức này lớn nhất khi d = 0, tức khi dây đi qua tâm — đó là đường kính, dài 2R. Mọi dây khác đều có d > 0 nên ngắn hơn 2R. Đó là lý do đường kính luôn là dây dài nhất của một đường tròn.
Ứng dụng thực tế
Tính chất đường kính — dây xuất hiện khi:
- 📐 Tìm tâm một đĩa tròn: giao của hai đường trung trực của hai dây.
- 🏗️ Xác định trục đối xứng của mặt cắt ống, bánh xe, chi tiết tròn.
- 🎯 Dựng đường kính vuông góc để chia đôi một cung, một dây chính xác.
- 🧭 Bài toán khoảng cách, đo đạc trên vật thể có mặt cắt tròn.