Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ở đâu?

Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Vì mọi điểm trên đường trung trực của một cạnh cách đều hai đầu mút cạnh đó, nên giao điểm ba trung trực cách đều cả ba đỉnh, đó chính là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh.

Đường tròn nội tiếp & ngoại tiếp tam giác

Q: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm ở đâu?

Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Mọi điểm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc, nên giao ba phân giác cách đều cả ba cạnh, đó là tâm đường tròn tiếp xúc trong với ba cạnh.

Hai đường tròn đặc biệt của tam giác

Với mỗi tam giác luôn tồn tại đúng một đường tròn ngoại tiếp đi qua cả ba đỉnh, và đúng một đường tròn nội tiếp tiếp xúc trong với cả ba cạnh. Hai đường tròn này có tâm khác nhau và được dựng theo hai cách khác nhau, nhưng đều dựa trên tính chất cách đều.

Cách xác định tâm

Tâm ngoại tiếp O = giao điểm ba đường trung trực các cạnh. Điểm này cách đều ba đỉnh nên là tâm đường tròn qua ba đỉnh; khoảng cách đó là bán kính R.
Tâm nội tiếp I = giao điểm ba đường phân giác trong. Điểm này cách đều ba cạnh nên là tâm đường tròn tiếp xúc ba cạnh; khoảng cách đó là bán kính r.
Kéo một đỉnh: khi tam giác đổi hình dạng, cả O, I, R, r đều cập nhật ngay lập tức.

Vì sao đúng?

Mọi điểm trên đường trung trực của một cạnh đều cách đều hai đầu cạnh đó. Giao của hai trung trực đã cách đều cả ba đỉnh, nên đường trung trực thứ ba cũng đi qua điểm ấy. Tương tự, mọi điểm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc, nên giao ba phân giác cách đều ba cạnh của tam giác.

Công thức liên hệ

Với tam giác có ba cạnh a, b, c, diện tích S và nửa chu vi p = (a+b+c)/2: bán kính nội tiếp r = S/p, còn bán kính ngoại tiếp R = abc/(4S). Bạn có thể kiểm chứng: khi kéo cho tam giác dẹt hơn, r nhỏ đi rất nhanh còn R lớn dần.

Phân biệt tâm và điểm đặc biệt khác

Tam giác còn có trọng tâm (giao ba đường trung tuyến) và trực tâm (giao ba đường cao). Đừng nhầm chúng với hai tâm ở đây: tâm ngoại tiếp O sinh từ ba đường trung trực, còn tâm nội tiếp I sinh từ ba đường phân giác. Với tam giác đều, cả bốn điểm này trùng vào một chỗ; nhưng với tam giác thường, chúng tách rời nhau. Riêng O, trọng tâm và trực tâm luôn thẳng hàng trên đường thẳng Euler, còn I thường nằm ngoài đường thẳng ấy. Hãy kéo thử để thấy khi tam giác cân, tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp cùng nằm trên trục đối xứng.

Ứng dụng thực tế

Đường tròn nội/ngoại tiếp xuất hiện khi:

🛠️ Thiết kế bánh răng, mặt số đồng hồ, hoa văn đối xứng.
📐 Dựng hình chính xác bằng thước và compa.
📍 Tìm điểm cách đều ba vị trí (trạm phát, cột thu phát).
🧮 Giải toán tam giác: tính R, r, chứng minh đồng quy.

Đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác