Định nghĩa trên nửa đường tròn đơn vị
Lấy nửa đường tròn đơn vị (bán kính 1, phần phía trên trục hoành). Với mỗi góc α từ 0° đến 180°, dựng tia hợp với chiều dương trục hoành một góc α, cắt nửa đường tròn tại điểm M(x; y). Khi đó theo định nghĩa: cosα = x (hoành độ), sinα = y (tung độ) và tanα = y/x = sinα/cosα (khi cosα ≠ 0).
Dấu của các giá trị
- sinα = y ≥ 0 với mọi α trong [0°; 180°] vì M luôn nằm trên hay trên trục hoành.
- cosα = x: dương khi α < 90° (M bên phải), bằng 0 khi α = 90°, âm khi α > 90° (M bên trái).
- tanα = sinα/cosα: dương với góc nhọn, âm với góc tù; không xác định khi α = 90° (vì cos = 0).
Góc nhọn và góc tù
Với góc nhọn (0° < α < 90°): cả sin, cos, tan đều dương. Với góc tù (90° < α < 180°): sin vẫn dương nhưng cos và tan âm. Một hệ quả đẹp: hai góc bù nhau (α và 180° − α) có sin bằng nhau, còn cos và tan đối nhau: sin(180°−α) = sinα, cos(180°−α) = −cosα, tan(180°−α) = −tanα.
Ứng dụng thực tế
Giá trị lượng giác của góc tù xuất hiện khi:
- 📐 Dùng định lí cos, định lí sin trong tam giác có góc tù.
- 🧭 Tính góc giữa hai vectơ (có thể là góc tù).
- 🌉 Bài toán khoảng cách, đo đạc địa hình, hàng hải.
- 📊 Rút gọn biểu thức lượng giác của các góc đặc biệt.