Định lý về giao tuyến
Trong chương quan hệ song song của Toán lớp 11 — bộ sách Kết nối tri thức, có một định lý then chốt: cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b ∥ a. Định lý này là "cỗ máy" sản sinh các đường song song trong không gian và là chìa khóa của hầu hết bài toán tìm giao tuyến, dựng thiết diện.
Ý tưởng trực quan: xoay tấm bìa quanh cạnh của nó
Hãy tưởng tượng a là mép của một tấm bìa cứng (Q), còn (P) là mặt bàn. Giữ mép a cố định lơ lửng song song với mặt bàn, rồi nghiêng tấm bìa xuống cho nó cắt mặt bàn:
- Vết cắt trên mặt bàn chính là giao tuyến b — một đường thẳng nằm trong (P).
- Kéo thanh trượt để xoay (Q) quanh a: nghiêng ít thì b chạy ra xa, nghiêng đứng thì b về sát ngay dưới a.
- Quan sát kỹ: b chỉ tịnh tiến trên mặt bàn, hướng của nó không hề đổi — luôn cùng hướng với a.
- Đổi cả góc nhìn 3D để chắc chắn hai đường không hề chéo nhau: chúng nằm cùng mặt phẳng (Q) và không giao nhau.
Vì sao b phải song song với a?
Lập luận chỉ gồm ba nhận xét, đúng như những gì bạn nhìn thấy trong game:
• a và b cùng nằm trong mặt phẳng (Q) — nên chúng chỉ có thể cắt nhau hoặc song song, không thể chéo nhau.
• b nằm trong (P), mà a ∥ (P) nghĩa là a không có điểm chung nào với (P) — vậy a càng không thể có điểm chung với b.
• Cùng mặt phẳng + không điểm chung = song song. Đó là toàn bộ phép chứng minh.
Hệ quả hay dùng: nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa (hoặc cùng song song với) một đường thẳng a mà chúng cắt nhau, thì giao tuyến của chúng song song với a. Khi dựng thiết diện hình chóp, chính hệ quả này cho phép "kẻ đường song song" qua từng mặt một cách chắc chắn.
Câu hỏi thường gặp
Định lý về giao tuyến phát biểu thế nào? Cho a ∥ (P); nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b ∥ a — dù (Q) nghiêng ở góc nào quanh a.
Vì sao b không thể cắt a? Vì b ⊂ (P) mà a không có điểm chung với (P) (do a ∥ (P)), nên a không có điểm chung với b; hai đường lại đồng phẳng trong (Q), vậy chúng song song.
Định lý này dùng để làm gì trong bài tập? Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một đường song song: giao tuyến sẽ đi qua điểm chung đã biết và song song với đường thẳng đó — vẽ được ngay không cần mò thêm điểm thứ hai.
Ứng dụng thực tế
Hình ảnh "mặt cắt cho vết song song" xuất hiện quanh ta:
- 🏠 Mái nhà nghiêng cắt tường ngang: đường nối mái–tường luôn song song với đòn nóc, nhờ đó thợ xây căn chỉnh mái thẳng hàng.
- ✂️ Cắt bánh kem theo mặt phẳng chứa một cạnh hộp: vết dao trên đáy hộp luôn song song với cạnh ấy.
- 📐 Trong bản vẽ kỹ thuật, giao tuyến giữa các mặt nghiêng của chi tiết máy được suy ra bằng đúng định lý này thay vì đo từng điểm.
- 🛣 Ta-luy đường đèo (mặt nghiêng) gặp mặt đường ngang tạo mép đường song song với tim đường — nguyên tắc san nền cơ bản.