Giới hạn của dãy số là gì?
Ta nói dãy số (uₙ) có giới hạn L, viết lim uₙ = L, nếu các số hạng của dãy tiến sát L bao nhiêu tuỳ ý khi n đủ lớn. Chẳng hạn dãy 1, 1/2, 1/3, 1/4, … càng ngày càng nhỏ và dồn về 0, nên lim (1/n) = 0.
Đọc hình thế nào?
- Trục ngang là n, trục dọc là giá trị uₙ; mỗi số hạng là một chấm tròn.
- Đường L nằm ngang: đó là giá trị mà dãy đang dồn về.
- Dải ε là dải mỏng (L − ε, L + ε) quanh đường L.
- Tìm N: chỉ số đầu tiên mà từ đó mọi chấm đều nằm trong dải và không thoát ra nữa.
Vì sao dải ε chứng tỏ giới hạn?
Định nghĩa chặt chẽ: với mọi ε > 0 (dù nhỏ đến đâu), luôn tồn tại một chỉ số N sao cho |uₙ − L| < ε với mọi n ≥ N. Trên hình, mỗi lần bạn thu hẹp dải ε, điểm N bị đẩy ra xa hơn, nhưng vẫn luôn tìm được. Vì điều này đúng với ε bé tuỳ ý, dãy buộc phải dồn khít về L. Lưu ý dãy (−1)ⁿ/n đổi dấu liên tục nhưng biên độ vẫn co về 0, nên vẫn hội tụ về 0; còn dãy dao động không co lại (như (−1)ⁿ) thì không có giới hạn.
Ứng dụng thực tế
Giới hạn dãy số là nền tảng của:
- ∞ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (|q| < 1) và số thập phân vô hạn tuần hoàn.
- 📉 Sai số của thuật toán lặp co dần về 0 khi chạy nhiều vòng.
- 🧮 Định nghĩa đạo hàm và tích phân trong giải tích.
- 💹 Mô hình lãi kép, tăng trưởng dần ổn định về một mức bão hoà.