Giới hạn một bên là gì?
Khi xét giới hạn của hàm số f(x) lúc x tiến tới x₀, ta có thể để x tiến tới x₀ chỉ từ một phía. Nếu x luôn nhỏ hơn x₀ (đến từ bên trái), ta được giới hạn trái, kí hiệu lim khi x→x₀⁻. Nếu x luôn lớn hơn x₀ (đến từ bên phải), ta được giới hạn phải, kí hiệu lim khi x→x₀⁺.
Khi nào hàm số có giới hạn tại x₀?
Định lí then chốt: hàm f có giới hạn tại x₀ khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải cùng tồn tại và bằng nhau. Khi đó giá trị chung ấy chính là lim khi x→x₀ của f(x).
- Tính giới hạn trái: cho x tiến tới x₀ từ các giá trị nhỏ hơn.
- Tính giới hạn phải: cho x tiến tới x₀ từ các giá trị lớn hơn.
- So sánh hai giá trị: bằng nhau thì có giới hạn; khác nhau thì không.
Bước nhảy — khi hai bên khác nhau
Ở hàm bậc thang hay hàm dấu sgn(x), khi x tiến tới điểm gãy từ bên trái đồ thị nằm ở một mức, còn từ bên phải lại nhảy sang mức khác. Khoảng cách giữa hai mức gọi là bước nhảy (jump). Vì giới hạn trái ≠ giới hạn phải nên tại điểm đó hàm không có giới hạn.
Ứng dụng thực tế
Giới hạn một bên xuất hiện khi:
- 💰 Biểu giá theo bậc (điện, nước, thuế) nhảy bậc tại các ngưỡng.
- 📶 Tín hiệu số bật/tắt, xung vuông đổi mức tức thời.
- 🧪 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.
- 📉 Giới hạn tại đầu mút của tập xác định (chỉ tiến được từ một phía).