Góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn
Khi hai đường thẳng (dây hoặc cát tuyến) cắt nhau, đỉnh của góc do chúng tạo ra có thể nằm bên trong hoặc bên ngoài đường tròn. Số đo góc đó không tùy tiện mà được quyết định bởi hai cung bị chắn: một cung nằm giữa hai cạnh của góc, một cung nằm giữa hai tia đối. Quy tắc rất đẹp: đỉnh trong thì lấy nửa tổng, đỉnh ngoài thì lấy nửa hiệu.
Hai công thức
- Đỉnh bên trong: góc = ½ (cung 1 + cung 2), với cung 1, cung 2 là hai cung bị chắn đối nhau qua đỉnh.
- Đỉnh bên ngoài: góc = ½ (cung lớn − cung nhỏ), lấy cung ở xa trừ cung ở gần.
- Trên chính đường tròn (đỉnh nằm trên đường tròn) là góc nội tiếp: góc = ½ cung bị chắn — trường hợp trung gian nối hai công thức trên.
- Đỉnh trùng tâm: góc ở tâm bằng đúng số đo cung bị chắn (½·tổng khi hai cung bằng nhau).
Vì sao lại là nửa tổng và nửa hiệu?
Chìa khóa là góc ngoài của tam giác. Với đỉnh bên trong, góc cần tìm là góc ngoài của một tam giác có hai góc trong là hai góc nội tiếp chắn cung 1 và cung 2; góc ngoài bằng tổng hai góc trong, tức ½ cung 1 + ½ cung 2 = ½(cung 1 + cung 2). Với đỉnh bên ngoài, góc cần tìm cộng với góc nội tiếp chắn cung nhỏ mới bằng góc nội tiếp chắn cung lớn, nên góc = ½ cung lớn − ½ cung nhỏ = ½(cung lớn − cung nhỏ).
Ứng dụng thực tế
Góc chắn cung xuất hiện khi:
- 🎯 Tính góc nhìn một vật thể tròn từ điểm ở gần hay ở xa.
- 📡 Định vị bằng hai điểm mốc trên một cung tròn tầm nhìn.
- 🌉 Thiết kế mái vòm, cầu, cửa cong dựa trên cung tròn.
- 📐 Chứng minh các bài toán hình học phẳng liên quan tứ giác nội tiếp.