Góc ở tâm và số đo cung là gì?
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Trong đường tròn tâm O, góc AOB có đỉnh tại O là một góc ở tâm; hai cạnh OA và OB cắt đường tròn tại hai điểm A, B và chia đường tròn thành hai cung: cung nhỏ (nằm bên trong góc) và cung lớn (nằm bên ngoài góc). Theo chương trình Toán lớp 9 — bộ sách Kết nối tri thức, người ta quy ước: số đo cung nhỏ AB bằng số đo góc ở tâm AOB; số đo cung lớn bằng 360° trừ số đo cung nhỏ; và cung nửa đường tròn có số đo 180°.
Từ đó ta có cách so sánh hai cung: trong cùng một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau), hai cung bằng nhau khi chúng có số đo bằng nhau; cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn. Nhờ vậy, việc so sánh cung — vốn là những đường cong — được đưa về so sánh hai con số đo bằng độ, đơn giản hơn rất nhiều.
Ý tưởng của trò chơi
Thay vì học thuộc quy ước, trò chơi cho bạn cầm trực tiếp hai điểm A, B kéo trượt trên đường tròn. Hình quạt màu tím thể hiện góc ở tâm AOB; cung màu xanh đậm là cung nhỏ, cung màu hồng nhạt là cung lớn. Mọi con số — góc n° cạnh tâm O, số đo hai cung, công thức bên dưới — đều cập nhật ngay lập tức theo từng cử động tay của bạn, nên quy luật tự hiện ra mà không cần ai giảng.
- Kéo điểm B (màu vàng) trượt trên đường tròn, quan sát số đo góc n° ngay cạnh tâm O thay đổi.
- So sánh: số ghi cạnh cung nhỏ (màu xanh) luôn đúng bằng góc ở tâm, còn cung lớn (màu hồng) luôn bằng 360° trừ đi số đó.
- Kéo thanh trượt “Góc ở tâm n°” — điểm B tự di chuyển tương ứng trong khi A đứng yên: thanh trượt và điểm B luôn đồng bộ hai chiều.
- Bấm “📐 Hiện thước đo góc” để hiện vạch chia độ quanh tâm và tự kiểm chứng số đo như đo bằng thước đo góc thật.
- Bấm “▶ Quay kim” cho B chạy quanh đường tròn: khi góc vượt qua 180°, cung nhỏ và cung lớn hoán đổi vai trò cho nhau — một khoảnh khắc rất đáng xem!
Vì sao số đo cung nhỏ bằng góc ở tâm?
Cả đường tròn được quy ước có số đo 360° — giống như quay đúng một vòng. Khi hai cạnh OA, OB của góc ở tâm “mở ra” n°, chúng chắn đúng một phần đường tròn tương ứng với n phần trong 360 phần bằng nhau. Vì thế người ta định nghĩa số đo cung nhỏ AB bằng số đo góc ở tâm AOB chắn cung đó: góc mở bao nhiêu độ thì cung bị chắn bấy nhiêu độ.
Hệ quả tự nhiên: hai cung nhỏ và lớn ghép lại thành trọn đường tròn, nên sđ cung lớn = 360° − sđ cung nhỏ. Đặc biệt khi AB là đường kính (góc AOB = 180°), hai cung bằng nhau và mỗi cung là nửa đường tròn = 180°. Ví dụ: góc AOB = 70° thì cung nhỏ AB = 70°, cung lớn AB = 360° − 70° = 290°; cộng lại đúng 360°.
Câu hỏi thường gặp
Góc ở tâm là gì? Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Trong đường tròn tâm O, góc AOB với đỉnh tại O là góc ở tâm; hai cạnh OA, OB cắt đường tròn tại A và B, chia đường tròn thành cung nhỏ và cung lớn. Số đo cung nhỏ AB bằng đúng số đo góc ở tâm AOB.
Số đo cung lớn tính thế nào? Số đo cung lớn AB bằng 360° trừ đi số đo cung nhỏ AB. Ví dụ: nếu cung nhỏ đo 70° thì cung lớn đo 360° − 70° = 290°, vì hai cung ghép lại thành cả đường tròn 360°.
Cung nửa đường tròn có số đo bao nhiêu? Khi AB là đường kính, hai điểm A và B chia đường tròn thành hai cung bằng nhau, mỗi cung là một nửa đường tròn và có số đo đúng bằng 180°.
Ứng dụng thực tế
Góc ở tâm và số đo cung xuất hiện quanh ta nhiều hơn bạn nghĩ:
- 🕐 Mặt đồng hồ là một đường tròn 360°: kim phút quét 6°/phút (360° ÷ 60), kim giờ quét 30°/giờ (360° ÷ 12) — tính góc giữa hai kim chính là bài toán góc ở tâm.
- 🌍 Trái Đất quay 360° trong 24 giờ nên mỗi múi giờ rộng 15° kinh tuyến (360° ÷ 24) — chênh nhau một múi là chênh một giờ.
- 📊 Biểu đồ hình quạt: mỗi 1% dữ liệu ứng với cung 3,6°, phần chiếm 25% được vẽ bằng góc ở tâm 90°.
- 🚢 Bánh lái tàu, vô lăng ô tô chia vạch theo độ quanh trục — người lái nói “đánh lái 30°” tức là quay một góc ở tâm 30°.
- ⚙️ Đĩa chia độ trên máy CNC, máy khoan mâm xoay dùng số đo cung để khoan các lỗ cách đều: 6 lỗ trên vành tròn thì hai lỗ kề nhau cách nhau cung 60°.