Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Trong không gian, hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song, hoặc chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng). Dù ở trường hợp nào, ta vẫn định nghĩa được góc giữa hai đường thẳng: đó là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng. Góc này luôn lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
Tính bằng vectơ chỉ phương
Mỗi đường thẳng có một vectơ chỉ phương chỉ hướng của nó — gọi là u và v. Vì góc chỉ phụ thuộc phương, ta tính được ngay bằng công thức:
- Lập tích vô hướng u·v = xᵤxᵥ + yᵤyᵥ + zᵤzᵥ.
- Chia cho tích độ dài: cos α = |u·v| / (|u|·|v|). Dấu trị tuyệt đối giữ cho góc ≤ 90°.
- Lấy arccos để ra góc α giữa hai đường thẳng.
Điều kiện vuông góc
Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°, tức cos α = 0. Vì mẫu số luôn dương, điều này tương đương với u·v = 0. Đây là điều kiện gọn nhất và đúng cả khi hai đường chéo nhau — hãy kéo thanh trượt để đưa u·v về 0 và quan sát.
Ứng dụng thực tế
Góc và tính vuông góc của đường thẳng trong không gian gặp ở:
- 🏗️ Kết cấu xây dựng: cột đứng vuông góc với xà ngang, giằng chéo.
- 📷 Đồ họa 3D và camera: xác định hướng nhìn vuông góc với bề mặt.
- 🤖 Robot và cánh tay máy: khớp quay cần vuông góc theo trục.
- ✈️ Định vị, hàng không: hai đường bay chéo nhau và góc lệch hướng.