Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau là gì?
Trong chương Đường tròn của Toán lớp 9 — bộ sách Kết nối tri thức, có một định lý rất đẹp: nếu từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB (với A, B là hai tiếp điểm) thì ba điều sau luôn đúng: ① MA = MB (điểm M cách đều hai tiếp điểm); ② MO là tia phân giác của góc AMB (góc giữa hai tiếp tuyến); ③ OM là tia phân giác của góc AOB (góc giữa hai bán kính đi qua tiếp điểm). Điều thú vị là ba tính chất này đúng với mọi vị trí của M, miễn là M nằm ngoài đường tròn.
Ý tưởng trò chơi
Thay vì nhìn một hình vẽ tĩnh trong sách, trò chơi phía trên cho bạn cầm điểm M kéo đi khắp màn hình. Hai tiếp điểm A, B và hai tiếp tuyến được máy tính vẽ lại tức thì, kèm độ dài đo được ghi ngay cạnh mỗi đoạn. Bạn sẽ nhận ra: dù M ở đâu, hai con số ấy không bao giờ lệch nhau — đó chính là định lý đang "sống" trước mắt bạn.
- Dùng chuột hoặc ngón tay kéo điểm M (chấm hồng) tới các vị trí khác nhau ngoài đường tròn, quan sát độ dài MA và MB.
- Kéo thanh trượt Bán kính R để phóng to, thu nhỏ đường tròn — công thức √(OM² − R²) bên dưới cập nhật theo.
- Bấm 👁 Hiện/ẩn góc để xem số đo: hai nửa góc tại M (AMO = BMO) và hai nửa góc tại O (AOM = BOM) luôn bằng nhau từng đôi một.
- Bấm 📏 Hiện tam giác bằng nhau để tô màu hai tam giác vuông OAM và OBM — "bộ xương" của phép chứng minh.
Vì sao MA = MB? Chứng minh
Bí mật nằm ở hai tam giác vuông. Vì MA, MB là tiếp tuyến nên bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với chúng: OA ⊥ MA và OB ⊥ MB (hai ô vuông nhỏ tại A và B trên hình). Xét hai tam giác vuông OAM (vuông tại A) và OBM (vuông tại B):
• Cạnh huyền OM chung;
• Hai cạnh góc vuông OA = OB = R (cùng là bán kính).
Vậy △OAM = △OBM theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông. Từ đó suy ra ngay cả ba kết luận: MA = MB (hai cạnh tương ứng), góc AMO = góc BMO (nên MO là tia phân giác của góc AMB), và góc AOM = góc BOM (nên OM là tia phân giác của góc AOB).
Ngoài ra, áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông OAM: MA² = OM² − OA², tức MA = MB = √(OM² − R²) — đúng là con số mà trò chơi đang hiển thị trực tiếp khi bạn kéo M.
Câu hỏi thường gặp
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau là gì? Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại điểm M thì: ① M cách đều hai tiếp điểm, tức MA = MB; ② MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến (góc AMB); ③ OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm (góc AOB).
Vì sao MA = MB? Hai tam giác vuông OAM và OBM có cạnh huyền OM chung và hai cạnh góc vuông OA = OB = R (cùng là bán kính), nên bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông. Suy ra MA = MB, đồng thời góc AMO = góc BMO và góc AOM = góc BOM.
Độ dài tiếp tuyến MA tính bằng công thức nào? Vì tam giác OAM vuông tại A, theo định lý Pythagoras: MA² = OM² − OA², nên MA = MB = √(OM² − R²), với OM là khoảng cách từ M đến tâm O và R là bán kính.
Ứng dụng thực tế
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau xuất hiện ở nhiều nơi hơn bạn nghĩ:
- 🪢 Dây căng qua ròng rọc hay bánh đai: hai nhánh dây rời khỏi bánh tròn theo hai tiếp tuyến, nên hai đoạn dây từ điểm treo tới bánh luôn dài bằng nhau.
- ⚙️ Viên bi hay trục tròn đặt trong máng chữ V: hai má của máng tiếp xúc với viên bi tại hai tiếp điểm, đường phân giác của góc chữ V đi đúng qua tâm bi — nhờ vậy thợ cơ khí định tâm trục cực kỳ chính xác.
- 📐 Compa và thước kẹp đo đường kính: kẹp một vật tròn giữa hai cạnh thước, tâm vật luôn nằm trên tia phân giác của góc giữa hai cạnh.
- ⛺ Đường tròn nội tiếp: tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao ba đường phân giác — chính là hệ quả trực tiếp của tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.