Hàm số chẵn, hàm số lẻ là gì?
Cho hàm số f xác định trên tập D đối xứng qua 0 (tức x thuộc D thì −x cũng thuộc D). Hàm số f là hàm số chẵn nếu f(−x)=f(x) với mọi x; đồ thị khi đó nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. Hàm số f là hàm số lẻ nếu f(−x)=−f(x) với mọi x; đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Một hàm có thể không chẵn cũng không lẻ.
Các bước xét tính chẵn lẻ
- Kiểm tra tập xác định có đối xứng qua 0 không. Nếu không, hàm không chẵn không lẻ.
- Tính f(−x) bằng cách thay x bởi −x rồi rút gọn.
- So sánh: nếu f(−x)=f(x) → chẵn; nếu f(−x)=−f(x) → lẻ.
- Nếu không rơi vào cả hai → hàm không chẵn không lẻ.
Vì sao chẵn thì đối xứng trục tung, lẻ thì đối xứng gốc O?
Điểm (x; f(x)) và điểm (−x; f(−x)) luôn nằm trên đồ thị. Với hàm chẵn, f(−x)=f(x) nên hai điểm có cùng tung độ và hoành độ đối nhau — chúng là ảnh của nhau qua trục tung, vậy đồ thị đối xứng qua Oy. Với hàm lẻ, f(−x)=−f(x) nên điểm thứ hai là (−x; −f(x)) — chính là ảnh của điểm đầu qua phép đối xứng tâm O. Trong game, hãy để ý hai chấm: chẵn thì soi gương qua trục dọc, lẻ thì một chấm là "bản lộn ngược qua tâm" của chấm kia.
Ví dụ quen thuộc
Các hàm chẵn điển hình: y=x², y=x⁴, y=|x|, y=cos x. Các hàm lẻ điển hình: y=x, y=x³, y=1/x, y=sin x. Hàm y=x²+x không chẵn không lẻ vì trộn lẫn số mũ chẵn và lẻ. Một mẹo nhanh với đa thức: nếu chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của x thì hàm chẵn, chỉ chứa lũy thừa bậc lẻ thì hàm lẻ; có cả hai loại thì thường không chẵn không lẻ.
Ứng dụng thực tế
Tính chẵn lẻ giúp:
- 🪞 Vẽ nhanh đồ thị: chỉ cần vẽ một nửa rồi lấy đối xứng.
- 🔢 Rút gọn tích phân của hàm chẵn/lẻ trên đoạn đối xứng.
- 🎵 Phân tích tín hiệu, chuỗi Fourier (thành phần cos chẵn, sin lẻ).
- 🧲 Mô tả đối xứng trong vật lí, kỹ thuật và đồ họa.