Hệ bất phương trình trong bữa ăn hằng ngày
Trong Toán lớp 10 — bộ sách Kết nối tri thức, ta học cách biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Nghe trừu tượng, nhưng đây chính là bài toán mà mọi căng tin trường học, bệnh viện hay đội tuyển thể thao phải giải mỗi ngày: chọn khẩu phần vừa đủ chất, vừa không vượt ngân sách. Trong game, một phần thịt cung cấp 20 g protein, 250 kcal và tốn 30 nghìn đồng; một phần sữa cung cấp 8 g protein, 150 kcal và tốn 10 nghìn đồng.
Ý tưởng trực quan: mỗi yêu cầu là một nửa mặt phẳng
Gọi x là số phần thịt, y là số phần sữa. Ba yêu cầu của khẩu phần trở thành ba bất phương trình:
- Đủ protein (ít nhất 60 g): 20x + 8y ≥ 60 — phải nằm phía trên đường thẳng protein.
- Không vượt 1500 kcal: 250x + 150y ≤ 1500 — phải nằm phía dưới đường thẳng calo.
- Không quá 120 nghìn đồng: 30x + 10y ≤ 120 — phải nằm phía dưới đường thẳng ngân sách.
- Kéo chấm tròn (thực đơn của bạn) vào vùng xanh — phần giao của ba nửa mặt phẳng — cả ba dấu ✓ cùng sáng: khẩu phần hợp lệ!
Vì sao miền nghiệm là phần giao?
Mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn chia mặt phẳng thành hai nửa bởi một đường thẳng: một nửa thỏa mãn, một nửa không. Một điểm (x; y) là nghiệm của hệ khi nó thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình — tức phải nằm trong tất cả các nửa mặt phẳng cùng lúc. Vì vậy miền nghiệm của hệ là phần giao của các nửa mặt phẳng.
Trong game bạn sẽ thấy rõ: có những thực đơn đủ protein nhưng cháy túi (vượt đường ngân sách), có thực đơn rẻ nhưng thiếu chất (dưới đường protein). Chỉ vùng xanh — nơi ba điều kiện gặp nhau — mới chứa các thực đơn "vẹn cả ba đường".
Đây cũng chính là bước đầu của quy hoạch tuyến tính: sau khi có miền nghiệm, người ta tìm trong đó điểm làm chi phí thấp nhất hoặc dinh dưỡng cao nhất — bài toán mà nhà toán học G. Stigler nổi tiếng đặt ra năm 1945 với tên gọi "bài toán khẩu phần" (diet problem).
Câu hỏi thường gặp
Bài toán khẩu phần ăn liên quan gì đến hệ bất phương trình? Mỗi yêu cầu dinh dưỡng hay ngân sách là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn: đủ protein là 20x + 8y ≥ 60, không vượt calo là 250x + 150y ≤ 1500, không vượt tiền là 30x + 10y ≤ 120. Thực đơn (x; y) hợp lệ phải thỏa mãn đồng thời cả ba — tức nằm trong miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Là phần mặt phẳng gồm mọi điểm (x; y) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình của hệ. Mỗi bất phương trình xác định một nửa mặt phẳng; miền nghiệm của hệ là phần giao của các nửa mặt phẳng đó.
Ứng dụng thực tế
Mô hình "nhiều ràng buộc — tìm vùng hợp lệ" có mặt khắp nơi:
- 🏥 Bệnh viện, trường học lập thực đơn đủ dinh dưỡng với chi phí thấp nhất cho hàng nghìn suất ăn.
- 🏭 Nhà máy chọn cơ cấu sản xuất khi bị giới hạn giờ máy, nguyên liệu và nhân công.
- 🌾 Nông dân phân bổ diện tích trồng hai loại cây theo giới hạn đất, nước và vốn.
- 💪 Vận động viên tính khẩu phần đạt protein mục tiêu mà không vượt calo cho phép.