Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Một phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c, và tập nghiệm của nó là một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ. Khi ghép hai phương trình như vậy lại, ta có một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ nghĩa là tìm cặp (x; y) thoả mãn cả hai — đúng bằng giao điểm của hai đường thẳng.
Ba trường hợp về số nghiệm
- Hai đường cắt nhau tại đúng một điểm → hệ có nghiệm duy nhất.
- Hai đường song song (không chồng lên nhau) → không có giao điểm → hệ vô nghiệm.
- Hai đường trùng nhau → mọi điểm chung → hệ có vô số nghiệm.
Vì sao đúng?
Một điểm (x; y) nằm trên đường thẳng ax + by = c khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả phương trình. Vậy điểm thoả cả hai phương trình phải nằm trên cả hai đường, tức là điểm chung của chúng. So sánh tỉ số a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ giúp phân biệt nhanh: khác nhau ở a/b thì cắt nhau; bằng nhau ở a/b nhưng khác c thì song song; bằng nhau cả ba thì trùng nhau.
Ứng dụng thực tế
Hệ phương trình bậc nhất xuất hiện khi:
- 🛒 Bài toán mua hàng: hai loại vé, tổng số và tổng tiền.
- 🚗 Bài toán chuyển động ngược chiều, xuôi ngược dòng.
- ⚗️ Pha trộn dung dịch theo nồng độ và khối lượng.
- 📊 Tìm điểm hoà vốn giữa chi phí và doanh thu.