Hệ thức lượng trong tam giác vuông là gì?
Cho tam giác vuông có cạnh huyền a, hai cạnh góc vuông b và c. Kẻ đường cao h từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền; chân đường cao chia cạnh huyền thành hai đoạn gọi là hình chiếu của hai cạnh góc vuông: b′ (hình chiếu của b) và c′ (hình chiếu của c), với b′ + c′ = a. Bốn hệ thức lượng liên hệ các đại lượng này.
Bốn hệ thức cần nhớ
- b² = a·b′ và c² = a·c′ — mỗi cạnh góc vuông bình phương bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh đó.
- h² = b′·c′ — đường cao bình phương bằng tích hai hình chiếu.
- a·h = b·c — tích cạnh huyền và đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông (đều bằng 2 lần diện tích).
- 1/h² = 1/b² + 1/c² — hệ thức về nghịch đảo bình phương đường cao.
Vì sao đúng?
Đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác vuông lớn thành hai tam giác nhỏ; cả ba tam giác đồng dạng với nhau (cùng góc). Từ các cặp tam giác đồng dạng, lập tỉ số cạnh tương ứng: b/a = b′/b cho b²=a·b′; tương tự c²=a·c′; và h/b′ = c′/h cho h²=b′·c′. Hệ thức a·h=b·c đến từ hai cách tính cùng một diện tích tam giác.
Ứng dụng thực tế
Các hệ thức này giúp tính nhanh:
- 📐 Tìm cạnh, đường cao hoặc hình chiếu còn thiếu mà không cần lượng giác.
- 🏗️ Tính toán kết cấu, khung giàn, mái dốc trong xây dựng.
- 🔺 Chứng minh hình học và giải bài toán tam giác đồng dạng.
- 📏 Đo đạc gián tiếp chiều dài, độ cao qua hình chiếu.