Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
Hiệu hai bình phương là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng nhất: a² − b² = (a − b)(a + b). Nó cho phép ta phân tích một hiệu hai bình phương thành tích, và ngược lại khai triển nhanh tích đó. Trò chơi phía trên cho bạn thấy hằng đẳng thức này đúng chỉ bằng cách cắt và ghép hình.
Ý tưởng: cắt hình rồi ghép thành hình chữ nhật
Hãy bắt đầu từ một hình vuông cạnh a có diện tích a². Bỏ đi ở một góc một hình vuông cạnh b có diện tích b². Phần còn lại có diện tích đúng bằng a² − b² và có dạng hình chữ L.
- Hình vuông a² sau khi bỏ đi ô vuông b² ở góc còn lại một hình chữ L.
- Cắt hình chữ L thành hai mảnh dọc theo một đường thẳng.
- Xoay và ghép hai mảnh lại để tạo thành một hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có hai cạnh là (a − b) và (a + b).
Vì sao bằng nhau?
Vì khi cắt và ghép, diện tích không thay đổi. Ta tính cùng một diện tích theo hai cách: phần còn lại của hình vuông là a² − b², còn hình chữ nhật ghép được là (a − b)(a + b). Hai cách phải cho cùng kết quả:
a² − b² = (a − b)(a + b)
Có thể kiểm tra bằng phép nhân khai triển: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². Hai cách — cắt ghép hình và nhân đa thức — đều dẫn tới cùng một hằng đẳng thức.
Câu hỏi thường gặp
Dùng để tính nhanh thế nào? Ví dụ 51² − 49² = (51 − 49)(51 + 49) = 2 × 100 = 200, không cần bình phương từng số.
Dùng để phân tích đa thức thế nào? Ví dụ x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3). Bất kì hiệu hai bình phương nào cũng phân tích được như vậy.
Ứng dụng thực tế
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🧮 Tính nhẩm nhanh các hiệu bình phương như 1002² − 998².
- 🔢 Phân tích đa thức thành nhân tử trong giải phương trình.
- ➗ Rút gọn phân thức có tử hoặc mẫu là hiệu hai bình phương.
- ✖️ Mẹo nhân hai số quanh một số tròn, ví dụ 97 × 103 = 100² − 3² = 9991.