Phép chiếu song song là gì?
Cho một mặt phẳng (P) và một đường thẳng ℓ cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, ta kẻ đường thẳng qua M song song với ℓ; nó cắt (P) tại điểm M′. Điểm M′ gọi là hình chiếu song song của M lên (P) theo phương ℓ. Đường thẳng ℓ là phương chiếu, còn (P) là mặt phẳng chiếu.
Các tính chất bảo toàn
- Đường thẳng → đường thẳng: hình chiếu của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng (hoặc một điểm).
- Song song → song song: hai đường thẳng song song có hình chiếu song song hoặc trùng nhau.
- Tỉ số đoạn thẳng cùng phương được giữ nguyên: nếu B là trung điểm AC thì B′ là trung điểm A′C′.
- Không bảo toàn độ dài, góc, và tỉ số của các đoạn không cùng phương.
Vì sao dùng để vẽ hình biểu diễn
Vì phép chiếu song song giữ được tính thẳng, tính song song và tỉ số cùng phương, nên một hình khối 3D chiếu xuống mặt phẳng cho ra hình biểu diễn dễ nhận ra: các cạnh song song trong không gian vẫn song song trên giấy, trung điểm vẫn là trung điểm. Đó là lí do mọi hình lập phương, lăng trụ, hình chóp trong sách đều được vẽ bằng phép chiếu song song. Kéo phương chiếu trong game để thấy hình biểu diễn thay đổi mà các tính chất trên vẫn giữ nguyên.
Lỗi thường gặp khi vẽ hình biểu diễn
Lỗi hay gặp nhất là cố giữ nguyên độ dài và góc như trong không gian — nhưng phép chiếu song song không bảo toàn hai thứ đó, nên một hình vuông thường được vẽ thành hình bình hành, đường tròn thành elip. Đừng vẽ các cạnh khuất bằng nét liền: quy ước là dùng nét đứt cho cạnh bị che. Một lỗi khác là quên rằng trung điểm phải chiếu thành trung điểm: nếu M là trung điểm của cạnh AB thì trên hình biểu diễn, ảnh của M vẫn phải nằm chính giữa ảnh của A và B. Cuối cùng, phương chiếu không được song song với mặt phẳng chiếu, nếu không cả hình sẽ dẹp thành một đoạn thẳng.
Ví dụ mẫu: hình biểu diễn của hình lập phương
Với hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, ta chọn mặt đáy ABCD nằm trong mặt phẳng chiếu và chiếu các đỉnh phía trên theo một phương xiên. Kết quả: đáy giữ dạng hình bình hành, còn bốn cạnh bên AA′, BB′, CC′, DD′ vốn song song và bằng nhau trong không gian nên trên hình biểu diễn chúng vẫn song song và bằng nhau. Trung điểm của một cạnh vẫn là trung điểm trên ảnh. Trong game, hãy kéo thanh Hướng phương chiếu và Độ nghiêng: hình khối đổi dáng nhưng ba tính chất bảo toàn — thẳng, song song, tỉ số — luôn được giữ, đúng như cách sách giáo khoa vẽ khối đa diện.
Ứng dụng thực tế
Phép chiếu song song hiện diện quanh ta:
- 📐 Vẽ hình biểu diễn khối đa diện trong hình học không gian.
- 🏛️ Bản vẽ kĩ thuật, hình chiếu trục đo (isometric) trong xây dựng.
- 🎮 Đồ hoạ game 2.5D và biểu đồ isometric.
- ☀️ Bóng nắng của vật thể khi Mặt Trời ở xa (tia gần như song song).