Hàm phân thức bậc nhất là gì?
Hàm số dạng y = (ax + b)/(cx + d) với c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0 gọi là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Đồ thị của nó luôn là một hyperbol có hai nhánh, nhận hai đường tiệm cận vuông góc và có một tâm đối xứng.
Các bước khảo sát
- Tập xác định: mọi x trừ điểm làm mẫu bằng 0, tức x ≠ −d/c.
- Tiệm cận đứng x = −d/c (mẫu bằng 0) và tiệm cận ngang y = a/c (giới hạn khi x → ±∞).
- Đạo hàm y' = (ad − bc)/(cx + d)²: mẫu luôn dương nên dấu của y' là dấu của ad − bc.
- Đơn điệu & vẽ: hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng, không có cực trị; giao hai tiệm cận là tâm đối xứng.
Bảng biến thiên
Ví dụ với ad − bc > 0 (hàm đồng biến), trên mỗi khoảng xác định hàm luôn tăng, "nhảy" qua tiệm cận đứng:
| x | −∞ | −d/c | +∞ |
|---|---|---|---|
| y' | + | ‖ | + |
| y | a/c ↗ +∞ | ‖ | −∞ ↗ a/c |
Ứng dụng thực tế
Hàm phân thức mô tả nhiều quan hệ "bão hòa":
- 💊 Nồng độ thuốc, phản ứng enzyme tiến dần tới một mức giới hạn.
- 💰 Chi phí trung bình mỗi sản phẩm giảm dần khi sản lượng tăng.
- 🔭 Quan hệ giữa khoảng cách và độ phóng đại của thấu kính.
- 📈 Mô hình tăng trưởng có ngưỡng bão hòa trong kinh tế, sinh học.