Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là gì?

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là độ dài ngắn nhất nối M tới một điểm trên Δ. Đường ngắn nhất ấy chính là đoạn vuông góc: kẻ từ M một đoạn vuông góc với Δ, cắt Δ tại chân đường vuông góc H, thì d = MH. Mọi đoạn xiên khác từ M tới Δ đều dài hơn MH.

Công thức

Với đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 và điểm M(x_M; y_M), khoảng cách là:

d(M, Δ) = |a·x_M + b·y_M + c| / √(a² + b²)

Các bước tính

1. Đưa đường thẳng về dạng ax + by + c = 0 (chuyển hết về một vế).
2. Thay tọa độ điểm M vào tử: tính a·x_M + b·y_M + c rồi lấy trị tuyệt đối.
3. Tính mẫu √(a² + b²) — độ dài vector pháp tuyến (a; b).
4. Chia tử cho mẫu để được khoảng cách d ≥ 0.

Vì sao công thức đúng?

Vector (a; b) vuông góc với đường thẳng (là vector pháp tuyến). Giá trị a·x_M + b·y_M + c đo "mức lệch" của M khỏi đường thẳng theo hướng pháp tuyến, nhưng còn nhân với độ dài của (a; b). Chia cho √(a² + b²) để chuẩn hóa pháp tuyến về độ dài 1, cho ra đúng độ dài hình chiếu vuông góc — tức khoảng cách. Trị tuyệt đối giúp d luôn không âm dù M ở phía nào.

Ứng dụng thực tế

Khoảng cách điểm–đường thẳng dùng để:

• 🛰️ Tính độ lệch của vật thể so với quỹ đạo/đường bay lý tưởng.
• 🤖 Robot, xe tự lái giữ khoảng cách an toàn tới vạch đường.
• 📐 Tìm bán kính đường tròn nội tiếp, tiếp xúc với một đường thẳng.
• 🎯 Học máy: khoảng cách tới siêu phẳng phân lớp trong SVM.