Khoảng cách là đoạn vuông góc ngắn nhất
Ý tưởng chung của mọi khoảng cách trong không gian: đó là độ dài đoạn ngắn nhất nối hai đối tượng, và đoạn ngắn nhất ấy luôn vuông góc. Ba trường hợp thường gặp là: điểm–đường thẳng, điểm–mặt phẳng, và hai đường thẳng chéo nhau.
Ba trường hợp
- Điểm M đến đường thẳng d: hạ MH vuông góc với d tại H. Khi đó MH là khoảng cách.
- Điểm M đến mặt phẳng (P): hạ MH vuông góc với (P), H là hình chiếu của M. MH là khoảng cách.
- Hai đường chéo nhau a, b: dựng đoạn vuông góc chung — đoạn vừa vuông góc, vừa cắt cả hai. Độ dài của nó là khoảng cách.
Vì sao là ngắn nhất?
Xét điểm M và một điểm N bất kì trên đường thẳng (hay mặt phẳng). Tam giác MHN vuông tại H có MN là cạnh huyền, nên MN ≥ MH. Dấu bằng chỉ xảy ra khi N trùng H. Vậy đoạn vuông góc MH thực sự ngắn nhất trong mọi đoạn nối M tới đối tượng đó.
Đoạn vuông góc chung
Với hai đường chéo nhau, đoạn vuông góc chung là duy nhất. Một cách dựng: qua đường b dựng mặt phẳng (Q) chứa b và song song a; chiếu a lên (Q) rồi tìm giao với b, từ đó xác định đoạn vuông góc chung. Độ dài đoạn này bằng khoảng cách từ a đến (Q).
Ứng dụng thực tế
Khoảng cách trong không gian xuất hiện khi:
- 🏗️ Tính chiều cao công trình, độ hở giữa các dầm chéo nhau.
- ✈️ Ước lượng khoảng cách gần nhất giữa hai đường bay.
- 🤖 Cánh tay robot, in 3D tránh va chạm giữa các bộ phận.
- 🧊 Tính thể tích, chiều cao khối chóp và khối lăng trụ.