Hàm số logarit là gì?
Hàm số logarit là hàm có dạng y = logₐx với cơ số a>0, a≠1. Vì chỉ số dương mới có logarit nên tập xác định là x > 0: toàn bộ đồ thị nằm bên phải trục tung. Giá trị logₐx là số mũ cần đặt lên a để được x: aˡᵒᵍₐˣ = x. Đây chính là hàm ngược của hàm số mũ y = aˣ.
Dáng điệu đồ thị theo cơ số a
- Đồ thị luôn đi qua điểm (1, 0) vì logₐ1 = 0 với mọi cơ số a.
- Khi a > 1: hàm đồng biến, đồ thị đi lên (chậm dần) từ trái sang phải.
- Khi 0 < a < 1: hàm nghịch biến, đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
- Trục tung x = 0 là tiệm cận đứng: khi x → 0⁺, giá trị logₐx tiến ra vô cực.
Đối xứng với hàm mũ qua đường y=x
Vì y = logₐx là hàm ngược của y = aˣ, hai đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Nếu điểm (m, n) nằm trên đồ thị hàm mũ (tức n = aᵐ) thì điểm (n, m) nằm trên đồ thị hàm logarit (m = logₐn) — đổi vai trò hoành độ và tung độ chính là phép đối xứng qua đường phân giác y = x. Nhờ đó, mọi tính chất "lật lại": (0, 1) của hàm mũ ứng với (1, 0) của hàm logarit; tiệm cận ngang y = 0 ứng với tiệm cận đứng x = 0.
Câu hỏi thường gặp
Đồ thị hàm số logarit y=logₐx có tính chất gì? Với a>0, a≠1: tập xác định x>0, đồ thị qua (1,0). a>1 đồng biến, 0<a<1 nghịch biến. Trục x=0 là tiệm cận đứng; đồ thị đối xứng với y=aˣ qua đường y=x.
Vì sao đồ thị logₐx đối xứng với aˣ qua đường y=x? Vì logarit là hàm ngược của hàm mũ: (m,n) thuộc y=aˣ thì (n,m) thuộc y=logₐx. Đổi hoành độ với tung độ chính là đối xứng qua y=x.
Ứng dụng thực tế
Logarit nén những đại lượng biến thiên rất rộng về thang đo dễ đọc:
- 📢 Thang decibel đo cường độ âm thanh (logarit cơ số 10).
- 🌋 Thang Richter đo độ lớn động đất.
- 🧪 Độ pH đo tính axit–bazơ của dung dịch.
- ⏳ Tính thời gian gấp đôi vốn, chu kì bán rã từ phương trình mũ.