Hàm số mũ là gì?
Hàm số mũ là hàm có dạng y = aˣ, trong đó a là một số dương khác 1 (a>0, a≠1) gọi là cơ số, còn số mũ x là biến. Vì lũy thừa của một số dương luôn dương nên y = aˣ > 0 với mọi x: toàn bộ đồ thị nằm phía trên trục hoành. Tập xác định là mọi số thực, tập giá trị là (0; +∞).
Dáng điệu đồ thị theo cơ số a
- Đồ thị luôn đi qua điểm (0, 1) vì a⁰ = 1 với mọi cơ số a.
- Khi a > 1: hàm đồng biến, đồ thị đi lên từ trái sang phải, tăng rất nhanh khi x lớn.
- Khi 0 < a < 1: hàm nghịch biến, đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
- Trục hoành y = 0 là tiệm cận ngang: đồ thị áp sát trục Ox nhưng không bao giờ chạm.
Vì sao đồ thị luôn qua (0, 1)?
Theo định nghĩa lũy thừa, a⁰ = 1 với mọi cơ số a dương. Vì vậy khi x = 0 ta luôn có y = a⁰ = 1, tức mọi đồ thị hàm số mũ đều cắt trục tung tại đúng điểm (0, 1) — bất kể a bằng bao nhiêu. Hơn nữa, đồ thị của y = aˣ và y = (1/a)ˣ đối xứng với nhau qua trục tung, vì (1/a)ˣ = a⁻ˣ; đó là lý do cơ số nghịch đảo cho đồ thị "lật ngang".
Câu hỏi thường gặp
Đồ thị hàm số mũ y=aˣ có tính chất gì? Với a>0 và a≠1, đồ thị luôn nằm trên trục hoành và qua (0,1). Khi a>1 hàm đồng biến (đi lên); khi 0<a<1 hàm nghịch biến (đi xuống). Trục y=0 là tiệm cận ngang.
Vì sao đồ thị y=aˣ luôn đi qua điểm (0,1)? Vì a⁰ = 1 với mọi cơ số a>0, nên tại x=0 giá trị hàm luôn bằng 1, đồ thị cắt trục tung tại (0,1).
Ứng dụng thực tế
Hàm số mũ mô tả các quá trình tăng/giảm theo tỉ lệ không đổi:
- 💰 Lãi kép: số tiền tăng theo aˣ với a = 1 + lãi suất mỗi kì.
- ☢️ Phân rã phóng xạ, thuốc đào thải: giảm theo aˣ với 0<a<1.
- 🦠 Tăng trưởng vi khuẩn, dân số, lan truyền dịch bệnh giai đoạn đầu.
- 📉 Tụ điện phóng/nạp, làm nguội Newton trong vật lí.