Lũy thừa của 2 là gì?
Lũy thừa 2ⁿ nghĩa là nhân số 2 với chính nó n lần: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16… Mỗi bước, kết quả lại gấp đôi bước trước. Trên bàn cờ ở trên, ô thứ n chứa 2ⁿ⁻¹ hạt thóc, nên các ô lần lượt là 1, 2, 4, 8, 16, 32… Đây là ví dụ kinh điển về tăng trưởng theo cấp số nhân (hàm mũ).
Câu chuyện hạt thóc trên bàn cờ
Theo truyền thuyết, người phát minh ra cờ vua chỉ xin nhà vua một phần thưởng “khiêm tốn”: ô đầu 1 hạt thóc, ô sau gấp đôi ô trước, cho đến hết 64 ô. Nhà vua cười và đồng ý ngay — nhưng rồi nhận ra cả vương quốc không đủ thóc để trả.
- Ô 1: 1 hạt. Ô 2: 2 hạt. Ô 3: 4 hạt… mới đầu trông rất nhỏ.
- Đến ô 11 đã hơn một nghìn (2¹⁰ = 1024) hạt.
- Đến ô 41 đã hơn một nghìn tỉ hạt.
- Ô 64 = 2⁶³ ≈ 9,2 tỉ tỉ hạt; tổng cộng ≈ 18,4 tỉ tỉ hạt.
Vì sao con số bùng nổ nhanh đến vậy?
Vì mỗi bước nhân với 2 chứ không phải cộng thêm một lượng cố định. Tăng trưởng tuyến tính (cộng) cho đường thẳng đều đặn; tăng trưởng theo cấp số nhân (nhân) lúc đầu trông chậm nhưng nhanh chóng vượt xa mọi tưởng tượng. Tổng số hạt của n ô đầu cũng có công thức gọn:
1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1
Tức là tổng tất cả các ô trước cộng lại vẫn còn ít hơn… đúng một hạt so với ô tiếp theo. Mỗi ô mới lớn hơn toàn bộ quá khứ cộng lại.
Câu hỏi thường gặp
Gấp một tờ giấy 42 lần thì dày bao nhiêu? Mỗi lần gấp làm độ dày gấp đôi. 2⁴² lần độ dày ~0,1mm ≈ 440.000 km — đủ chạm tới Mặt Trăng. Cũng là lũy thừa của 2.
Liên hệ với 1/2 + 1/4 + … = 1? Đó là chiều ngược lại: chia đôi mãi thì tổng hội tụ về 1; còn nhân đôi mãi thì bùng nổ vô hạn.
Ứng dụng thực tế
Tăng trưởng theo cấp số nhân ở khắp nơi quanh ta:
- 💰 Lãi kép: tiền sinh lãi, lãi lại sinh lãi — vốn tăng theo hàm mũ.
- 🦠 Vi khuẩn, virus nhân đôi: một thành hai, hai thành bốn… bùng phát dịch.
- 💻 Tin học: bit nhị phân, dung lượng bộ nhớ, định luật Moore đều theo 2ⁿ.
- 🔎 Thuật toán chia đôi (tìm kiếm nhị phân) cực nhanh nhờ lũy thừa của 2.