Mặt cầu ngoại tiếp là gì?
Mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đó. Với hình hộp chữ nhật kích thước a × b × c trong hệ toạ độ Oxyz (Toán lớp 12 — bộ sách Kết nối tri thức), mặt cầu ngoại tiếp luôn tồn tại: tâm của nó là trung điểm đường chéo và bán kính R = ½√(a²+b²+c²). Đây là "vũ khí" giải nhanh hàng loạt bài mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ có thể nhúng vào một hình hộp.
Ý tưởng trực quan: 4 đường chéo cùng một trung điểm
Hình hộp chữ nhật có 4 đường chéo (nối từng cặp đỉnh đối diện). Điều kỳ diệu: cả 4 đường dài bằng nhau và cắt nhau tại đúng một điểm — trung điểm chung I của chúng.
- Đặt hộp vào Oxyz với một đỉnh ở gốc O, ba cạnh dọc theo ba trục: đỉnh đối diện là (a; b; c).
- Kéo ba thanh trượt a, b, c: quan sát đường chéo màu cam nối O với (a;b;c) và trung điểm I của nó.
- Vì I là trung điểm của cả 4 đường chéo bằng nhau, I cách đều 8 đỉnh một khoảng d/2.
- Vậy mặt cầu tâm I bán kính d/2 đi qua cả 8 đỉnh — xoay hình để thấy các đỉnh luôn chạm đúng vào quả cầu xanh.
Vì sao R = ½√(a²+b²+c²)?
Chỉ cần hai bước Pythagoras để đo đường chéo hộp:
• Trong mặt đáy: đường chéo đáy² = a² + b².
• Dựng tam giác vuông với cạnh đứng c: đường chéo hộp² = (a² + b²) + c².
Suy ra độ dài đường chéo và bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
d = √(a²+b²+c²) ⇒ R = d/2 = ½√(a²+b²+c²)
Tâm I có toạ độ (a/2; b/2; c/2) — đúng trung điểm đoạn nối O(0;0;0) với đỉnh đối diện (a;b;c). Trường hợp đặc biệt a = b = c cho hình lập phương với R = a√3/2. Nhiều bài thi cho hình chóp có ba cạnh đôi một vuông góc — chỉ cần "dựng thêm" hình hộp bao quanh là dùng ngay công thức này.
Câu hỏi thường gặp
Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có tâm và bán kính ở đâu? Tâm là trung điểm đường chéo hình hộp, bán kính bằng nửa đường chéo: R = ½√(a²+b²+c²).
Vì sao tâm nằm ở trung điểm đường chéo? Vì 4 đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm chung I, nên I cách đều cả 8 đỉnh — 8 đỉnh cùng nằm trên một mặt cầu tâm I.
Ứng dụng thực tế
"Quả cầu nhỏ nhất chứa chiếc hộp" xuất hiện nhiều hơn bạn nghĩ:
- 📦 Đóng gói: muốn bọc một chiếc hộp trong quả cầu trang trí hay viên nang, đường kính tối thiểu chính là đường chéo hộp.
- 🛰️ Vệ tinh hình hộp (CubeSat) phải lọt trong khoang phóng hình trụ/cầu — kích thước kiểm tra bằng nửa đường chéo.
- 🎮 Đồ hoạ 3D: quả cầu bao (bounding sphere) của một vật hình hộp có bán kính đúng bằng ½√(a²+b²+c²), dùng để loại nhanh va chạm.
- ⚙️ Gia công cơ khí: phôi cầu nhỏ nhất để tiện ra chi tiết hình hộp được tính bằng chính công thức đường chéo này.