Khoảng biến thiên & khoảng tứ phân vị

Mẫu ghép nhóm là gì?

Khi số liệu quá nhiều, ta chia miền giá trị thành các nhóm (khoảng) liền nhau có cùng độ rộng h và đếm xem mỗi nhóm có bao nhiêu số liệu — đó là tần số. Bảng như vậy gọi là mẫu số liệu ghép nhóm. Trong chương trình Toán 12 (bộ sách Kết nối tri thức), ta học hai đại lượng đo độ phân tán của mẫu ghép nhóm: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

Khoảng biến thiên R = max − min

Khoảng biến thiên bằng đầu mút phải của nhóm cuối cùng có tần số khác 0 trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên có tần số khác 0: R = max − min. Nó cho biết toàn bộ dữ liệu trải trên một đoạn dài bao nhiêu, nhưng rất nhạy với hai đầu — chỉ cần một giá trị lạ ở biên là R vọt lên.

Khoảng tứ phân vị IQR = Q3 − Q1

Tứ phân vị chia mẫu thành 4 phần bằng nhau. Với mẫu ghép nhóm cỡ n, tứ phân vị Q_p (p = 1, 2, 3) nằm trong nhóm chứa vị trí p·n/4 và được nội suy:

Q_p = L + ( p·n/4 − F ) / f · h

với L là đầu trái của nhóm chứa Q_p, F là tần số tích luỹ ngay trước nhóm, f là tần số nhóm, h là độ rộng nhóm. Khi đó IQR = Q3 − Q1 đo độ trải của 50% dữ liệu ở giữa — bỏ qua đuôi nên rất ổn định, không bị giá trị lạ kéo lệch.

Phát hiện giá trị ngoại lệ

1. Tính Q1, Q3 rồi IQR = Q3 − Q1.
2. Lập khoảng chấp nhận [Q1 − 1,5·IQR ; Q3 + 1,5·IQR].
3. Giá trị nằm ngoài khoảng đó là ngoại lệ — trong game hiện màu đỏ.

Vì sao nên dùng IQR?

So với khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị:

• 📊 Không bị ảnh hưởng bởi vài giá trị lạ ở hai đuôi.
• 🧪 Là công cụ chuẩn để dựng biểu đồ hộp và lọc ngoại lệ.
• 🌡️ So sánh độ ổn định của hai bộ dữ liệu (nhiệt độ, điểm số, thu nhập…).
• 🏭 Kiểm soát chất lượng: cảnh báo mẫu vượt ngưỡng chấp nhận.