Nguyên hàm và diện tích

Hàm diện tích tích luỹ A(x) = ∫ từ a đến x của f là một nguyên hàm của f. Kéo x để thấy diện tích tăng và độ dốc của A đúng bằng f(x) — đó là định lý cơ bản.

x = – Diện tích A(x) = – f(x) = – Độ dốc A'(x) = –
–

💡 Vùng hồng phía trên là diện tích A(x). Chấm vàng dưới là điểm (x, A(x)); tiếp tuyến của nó có độ dốc đúng bằng chiều cao f(x) ở trên.

Thấy hay? Chia sẻ cho bạn bè: f Facebook 𝕏 X

Nguyên hàm và diện tích liên quan thế nào?

Giữ một điểm a cố định và cho x chạy. Gọi A(x) là diện tích phần nằm dưới đồ thị f, từ a đến x. Đây chính là tích phân A(x) = ∫ax f(t) dt. Điều bất ngờ và đẹp đẽ: hàm diện tích này lại là một nguyên hàm của f.

Các bước hiểu ý tưởng

  1. Nhìn phần trên: khi kéo x sang phải, vùng tô màu (diện tích) lớn dần lên.
  2. Nhìn phần dưới: giá trị A(x) được vẽ thành một đường cong đi lên.
  3. Tăng x thêm đoạn nhỏ Δx: diện tích tăng thêm ≈ f(x)·Δx (một dải mảnh cao f(x)).
  4. Suy ra độ dốc: A(x+Δx) − A(x) ≈ f(x)·Δx, nên A'(x) = f(x).

Vì sao A'(x) = f(x)?

Khi x tăng thêm một đoạn rất nhỏ Δx, phần diện tích tăng thêm gần như là một hình chữ nhật cao f(x), rộng Δx, nên bằng f(x)·Δx. Chia hai vế cho Δx rồi cho Δx tiến về 0, ta được tốc độ tăng của diện tích, tức đạo hàm A'(x), đúng bằng chiều cao f(x). Vậy A là nguyên hàm của f — đây chính là định lý cơ bản của giải tích, cây cầu nối phép lấy diện tích với phép lấy đạo hàm.

Ứng dụng thực tế

Ý tưởng "diện tích tích luỹ" xuất hiện khắp nơi:

Khám phá thêm