Quy tắc nhân hai phân số
Trong Toán lớp 6 — bộ sách Kết nối tri thức, quy tắc nhân hai phân số rất gọn: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu. Viết bằng chữ cái: a/b × c/d = (a·c)/(b·d). Nhưng nếu cứ nhân thẳng, các con số phình to rất nhanh: 3/8 × 4/9 = 12/72, rồi lại phải loay hoay rút gọn 12/72 về 1/6. Có một mẹo giúp phép nhân nhẹ nhàng hơn hẳn: rút gọn chéo trước khi nhân.
Ý tưởng trực quan: gạch chéo ước chung
Vì tử số và mẫu số cuối cùng sẽ nằm chung trong một phân số (a·c ở trên, b·d ở dưới), ta được phép chia bớt ước chung của bất kỳ số nào ở trên với bất kỳ số nào ở dưới — kể cả khi chúng thuộc hai phân số khác nhau, tức là nằm chéo nhau:
- Nhìn cặp chéo thứ nhất: tử a và mẫu d. Tìm ƯCLN của chúng rồi chia cả hai.
- Nhìn cặp chéo thứ hai: tử c và mẫu b. Cũng chia cả hai cho ƯCLN.
- Lúc này các số đã nhỏ gọn — nhân tử với tử, mẫu với mẫu.
- Kết quả thu được thường đã tối giản, khỏi cần rút gọn thêm.
Vì sao rút gọn chéo không làm sai kết quả?
Bí mật nằm ở chỗ phép nhân có thể đổi chỗ. Xét ví dụ 3/8 × 4/9:
3/8 × 4/9 = (3×4)/(8×9) = (3×4)/(9×8) = 3/9 × 4/8 = 1/3 × 1/2 = 1/6
Khi viết chung thành một phân số, 3 (ở trên) và 9 (ở dưới) thực chất đứng cùng nhau, nên chia cả hai cho 3 là hợp lệ; tương tự 4 và 8 chia cho 4. Rút gọn chéo chỉ là "rút gọn sớm" — làm trước điều mà đằng nào ta cũng phải làm sau khi nhân, nhưng với những con số nhỏ hơn nhiều. Mô hình hình chữ nhật trong game cũng xác nhận điều đó: phần tô đậm giao nhau luôn chiếm đúng tỉ lệ (a·c)/(b·d) của cả hình, dù có rút gọn hay không.
Câu hỏi thường gặp
Có được rút gọn tử với tử hoặc mẫu với mẫu không? Không! Chỉ được rút gọn một số ở trên với một số ở dưới (cùng phân số hoặc chéo nhau). Rút tử với tử sẽ làm thay đổi giá trị của tích.
Nếu hai cặp chéo không có ước chung thì sao? Thì cứ nhân thẳng tử với tử, mẫu với mẫu — kết quả khi đó thường đã tối giản. Rút gọn chéo chỉ là mẹo tăng tốc, không bắt buộc.
Ứng dụng thực tế
Nhân phân số (và mẹo rút gọn chéo) xuất hiện ở nhiều nơi:
- 🍰 Lấy 2/3 của 3/4 chiếc bánh còn lại: 2/3 × 3/4 — rút chéo 3 với 3 là thấy ngay bằng 2/4 = 1/2 chiếc.
- 🗺️ Tính diện tích trên bản đồ: mảnh đất rộng 3/5 km và dài 5/6 km có diện tích 3/5 × 5/6 = 1/2 km².
- 💧 Bể nước đầy 4/5, dùng hết 5/8 lượng nước đó: 5/8 × 4/5 = 1/2 bể.
- 🏃 Quãng đường: đi được 3/4 của 8/9 chặng đua — rút chéo cho phép nhẩm nhanh ra 2/3 chặng.