Nhị thức Newton là gì?
Nhị thức Newton là công thức khai triển lũy thừa của một tổng hai số hạng: (a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + … + C(n,n)bⁿ. Các số C(n,k) — đọc là "tổ hợp chập k của n" — chính là hệ số nhị thức và được sắp thành hàng thứ n của tam giác Pascal.
Các bước khai triển
- Viết n+1 số hạng, ứng với k chạy từ 0 đến n.
- Số mũ của a giảm dần từ n về 0; số mũ của b tăng dần từ 0 lên n. Tổng hai số mũ luôn bằng n.
- Hệ số mỗi số hạng là C(n,k) — lấy đúng hàng n của tam giác Pascal.
- Cộng tất cả lại để được khai triển đầy đủ.
Tam giác Pascal
Tam giác Pascal bắt đầu bằng số 1 ở đỉnh. Hai cạnh xiên đều là 1. Mỗi số bên trong bằng tổng hai số ngay phía trên (trái và phải). Ví dụ hàng 4 là 1, 4, 6, 4, 1 — và 6 = 3 + 3 lấy từ hàng 3.
Vì sao mỗi số = tổng 2 số trên?
Đó là quy tắc Pascal: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Khi chọn k phần tử từ n, ta xét một phần tử cố định: hoặc chọn nó (còn phải chọn k−1 từ n−1 phần tử còn lại → C(n−1,k−1)), hoặc không chọn nó (chọn đủ k từ n−1 → C(n−1,k)). Cộng hai trường hợp lại được đúng C(n,k) — chính là số nằm ngay dưới hai số cha trong tam giác.
Ứng dụng thực tế
Nhị thức Newton và tổ hợp xuất hiện khi:
- 🎲 Tính xác suất nhị thức: tung n đồng xu, xác suất được k mặt ngửa.
- 📈 Khai triển và xấp xỉ (1+x)ⁿ trong đại số, giải tích.
- 🧮 Đếm số cách chọn, số tập con — tổng một hàng Pascal bằng 2ⁿ.
- 💹 Mô hình lãi kép, khai triển đa thức trong kỹ thuật.