Góc giữa hai mặt phẳng là gì?
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc nhị diện nhỏ nhất tạo bởi chúng — cũng chính là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến trên mỗi mặt. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° (hai mặt song song hoặc trùng) đến 90° (hai mặt vuông góc).
Công thức trong Oxyz
Gọi n₁, n₂ là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (lấy từ hệ số của phương trình Ax+By+Cz+D=0). Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai pháp tuyến (hoặc góc bù của nó), nên:
cosφ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|)
Các bước tính
- Tìm n₁ — pháp tuyến của mặt phẳng thứ nhất.
- Tìm n₂ — pháp tuyến của mặt phẳng thứ hai.
- Tính n₁·n₂ và các độ dài |n₁|, |n₂|.
- Lấy cosφ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|) rồi suy ra φ = arccos.
Điều kiện vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai pháp tuyến vuông góc, tức n₁·n₂ = 0. Ngược lại, chúng song song hoặc trùng khi n₁ và n₂ cùng phương. Bấm nút trong game để đưa hai mặt về đúng hai trường hợp đặc biệt này.
Ứng dụng thực tế
Góc giữa hai mặt phẳng xuất hiện khi:
- 🏠 Tính góc dốc giữa hai mái nhà gặp nhau.
- 📐 Xác định góc mở của quyển sách, cánh cửa, nắp laptop.
- 💎 Đo góc giữa các mặt cắt của tinh thể, kim cương.
- 🌉 Kiểm tra góc nghiêng giữa các bề mặt trong cơ khí, cầu đường.