Tích có hướng là gì?
Trong không gian Oxyz, tích có hướng (còn gọi là tích vectơ hay tích chéo) của hai vectơ a và b, ký hiệu [a,b], là một vectơ mới có ba tính chất: nó vuông góc với cả a và b; chiều xác định theo quy tắc bàn tay phải; và độ dài |[a,b]| bằng diện tích hình bình hành dựng trên a, b.
Công thức tọa độ
- Với a = (a₁; a₂; a₃) và b = (b₁; b₂; b₃).
- Thành phần x: a₂·b₃ − a₃·b₂.
- Thành phần y: a₃·b₁ − a₁·b₃.
- Thành phần z: a₁·b₂ − a₂·b₁ → [a,b] = (a₂b₃−a₃b₂ ; a₃b₁−a₁b₃ ; a₁b₂−a₂b₁).
Vì sao độ dài bằng diện tích hình bình hành?
Độ lớn của tích có hướng là |[a,b]| = |a|·|b|·sinθ, với θ là góc giữa hai vectơ. Đúng bằng công thức diện tích hình bình hành có hai cạnh a, b (đáy |a|, chiều cao |b|·sinθ). Khi a và b cùng phương thì θ = 0, sinθ = 0, hình bình hành suy biến thành đoạn thẳng, nên [a,b] = 0 (vectơ-không). Đó là dấu hiệu nhận biết hai vectơ cùng phương.
Ứng dụng thực tế
Tích có hướng được dùng để:
- 📐 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm.
- 📏 Tính diện tích tam giác, hình bình hành và thể tích khối trong không gian.
- 🔩 Tính mômen lực (mômen xoắn) trong vật lí và cơ học.
- 🎮 Tính pháp tuyến bề mặt để đổ bóng trong đồ họa 3D.