Phân phối nhị thức là gì?
Lặp lại n phép thử độc lập, mỗi lần "thành công" với cùng xác suất p — tung xu, ném bóng rổ, kiểm tra sản phẩm lỗi… Gọi X là số lần thành công, thì X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, …, n và tuân theo phân phối nhị thức B(n, p). Đây là nội dung thuộc chuyên đề học tập Toán lớp 12 — bộ sách Kết nối tri thức, và là mô hình xác suất được dùng nhiều bậc nhất trong thống kê.
Ý tưởng trực quan: dàn cột xác suất biết "chuyển nhà"
Mỗi cột trên biểu đồ là một giá trị k với chiều cao P(X=k). Toàn bộ "khối lượng xác suất" (tổng = 1) được chia cho n+1 cột — và khi bạn kéo n, p, khối lượng ấy chảy sang hình dạng mới:
- Kéo p lớn dần: thành công dễ hơn nên dàn cột dồn dần về bên phải (k lớn).
- Kéo n lớn dần: nhiều cột hơn, mỗi cột thấp đi, hình dạng tiến gần đường cong chuông đối xứng.
- Kéo k để đọc từng cột: công thức C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ hiện giá trị chính xác.
- Bấm 🎲 Mô phỏng: máy "tung xu" 500 lượt thật; các chấm vàng tần suất thực nghiệm bám sát cột lý thuyết.
Vì sao P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ?
Xét một kịch bản cụ thể có đúng k thành công, ví dụ "thành công ở k lần đầu, thất bại ở n−k lần sau":
• Do các phép thử độc lập, xác suất của kịch bản đó là pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
• Nhưng k lần thành công có thể rơi vào bất kỳ vị trí nào trong n lần thử — có C(n,k) cách chọn vị trí.
Các kịch bản rời nhau nên cộng xác suất lại:
P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
Từ đó chứng minh được E(X) = np (trung bình mỗi phép thử đóng góp p thành công) và V(X) = np(1−p). Tên "nhị thức" đến từ việc các hệ số C(n,k) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (p + q)ⁿ với q = 1−p — vì thế tổng tất cả các cột luôn bằng (p+q)ⁿ = 1.
Câu hỏi thường gặp
Phân phối nhị thức B(n, p) là gì? Là phân phối của số lần thành công X trong n phép thử độc lập cùng xác suất thành công p; P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ với k = 0, 1, …, n.
Kỳ vọng và phương sai của B(n, p) bằng bao nhiêu? E(X) = np và V(X) = np(1−p). Tung 100 lần đồng xu cân đối (p = 0,5) thì trung bình được 50 mặt sấp.
Ứng dụng thực tế
Ở đâu có "lặp lại n lần — đếm số thành công", ở đó có phân phối nhị thức:
- 🏭 Kiểm tra chất lượng: lô 20 sản phẩm với tỉ lệ lỗi 5%, xác suất có nhiều nhất 1 sản phẩm lỗi là bao nhiêu?
- 💉 Y học: nếu thuốc hiệu quả với 80% bệnh nhân, khả năng chữa khỏi ít nhất 8 trong 10 ca được tính bằng B(10; 0,8).
- 🏀 Thể thao: cầu thủ ném phạt chính xác 70%, xác suất vào cả 5 quả liên tiếp chỉ khoảng 16,8%.
- 📶 Viễn thông: mỗi gói tin truyền lỗi với xác suất nhỏ p; số gói lỗi trong n gói theo B(n, p) giúp thiết kế mã sửa lỗi.