Phương trình đường thẳng là gì?
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng được xác định bởi một điểm mà nó đi qua và một hướng mà nó kéo dài. Hướng ấy được mô tả bằng vectơ chỉ phương u=(a,b,c). Bắt đầu từ điểm M₀(x₀,y₀,z₀), ta cộng thêm t lần vectơ u; khi t thay đổi, điểm M=M₀+t·u trượt dọc và vẽ nên toàn bộ đường thẳng.
Các bước lập phương trình
- Xác định vectơ chỉ phương u=(a,b,c) — hướng của đường thẳng.
- Chọn một điểm M₀(x₀,y₀,z₀) nằm trên đường thẳng.
- Viết phương trình tham số: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct.
- Khử t (khi a,b,c≠0) để có phương trình chính tắc (x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c.
Vì sao công thức này đúng?
Điểm M nằm trên đường thẳng ⇔ vectơ M₀M cùng phương với vectơ chỉ phương u, tức M₀M=t·u với một số thực t nào đó. Viết theo tọa độ: (x−x₀, y−y₀, z−z₀)=t·(a,b,c), suy ra x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct. Nếu a,b,c khác 0, từ mỗi phương trình rút t=(x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c — đó chính là phương trình chính tắc.
Ứng dụng thực tế
Phương trình đường thẳng dùng để:
- 🚀 Mô tả quỹ đạo chuyển động thẳng đều theo thời gian t.
- 🎯 Bắn tia (ray tracing) trong đồ họa 3D và game.
- 🛰️ Xác định giao điểm của tia laser, đường ngắm với mặt phẳng.
- 📏 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, khoảng cách giữa các đường.