Phương trình đường tròn là gì?
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là tập hợp tất cả những điểm M(x,y) cách tâm I một khoảng đúng bằng R. Nói cách khác, điều kiện IM = R chính là "luật" mà mọi điểm trên đường tròn phải thoả.
Từ khoảng cách tới phương trình
- Khoảng cách IM = √[(x−a)² + (y−b)²].
- Điều kiện nằm trên đường tròn: IM = R.
- Bình phương hai vế → (x−a)² + (y−b)² = R² (dạng chính tắc).
- Khai triển và gom lại → x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với c = a²+b²−R².
Vì sao đúng?
Dạng chính tắc chỉ là công thức khoảng cách được bình phương. Vì bình phương khoảng cách luôn không âm, phương trình luôn "đo" đúng độ lệch của điểm so với tâm. Ngược lại, khi gặp x²+y²−2ax−2by+c=0, ta tìm tâm I(a,b), bán kính R = √(a²+b²−c). Nó là đường tròn thật chỉ khi a²+b²−c > 0; nếu bằng 0 ta được một điểm, nếu âm thì không có điểm nào.
Ứng dụng thực tế
Phương trình đường tròn xuất hiện khi:
- 📡 Định vị GPS: giao các "vòng tròn khoảng cách" từ nhiều trạm.
- 🎯 Xác định vùng phủ sóng, tầm bắn, bán kính an toàn.
- 🛰️ Quỹ đạo tròn của vệ tinh, chuyển động tròn đều.
- 🎮 Kiểm tra va chạm hình tròn trong lập trình game.